Question

calcule a integral multippla
1/raizquadrada(x^2+y^2) dydx 

limites de integração de x e y respectivamente
x=2( superior) e 1( inferior)
y=raizquadrada(2x-x²) [superior] e 0 [inferior]
obs: anexei a imagem para visualizacao da integral.

Answer 1

Temos a integral:

$\int\limits^2_1 {} \,\int\limits^ \frac{ \sqrt{2x-x^2} }{} _0 { \frac{1}{ \sqrt{x^2+y^2} } } \,dydx$

Vamos verificar o seu domínio.

x varia de 1 a 2

y varia de 0 a √2x-x²

Repare:

y = √(2x-x²)

y² = 2x-x²

y²+x²-2x = 0

Completando quadrado:

y²+(x-1)² = 1

Temos uma circunferência com centro (1,0)

Façamos mudança de coordenadas em polares.

x = rcos(β)

y = rsen(β)

Vamos substituir na equação acima.

y²+x²-2x = 0    Sabemos que y²+x²= r²

r² -2x = 0      x = rcos(β)

r² -2rCos(β) = 0

r² = 2rCosβ

r = 2Cosβ  ⇔ Esse é o valor do raio máximo
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limites de integração:

 R varia de x = 1 até O raio máximo = 2cosβ
 
 Como ,


$\\ x = rCos \beta \\ \\ 1 = rCos \beta \\ \\ r = \frac{1}{Cos \beta } \\ \\ r = Sec \beta$

Então,
 
 Secβ ≤ r ≤ 2cosβ

Já o ângulo varia até a metade da parte superior da circunferencia.

Mas como a metade da circunferencia está no primeiro quadrante, a metade seria 45°

logo,

0≤ β ≤ π/4
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Lembrando do Jacobiano em coordenadas polares = R
Então ficamos:

$\\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^ \frac{ 2Cos \beta }{} _ \frac{Sec \beta }{} {} \, \frac{1}{ \sqrt{r^2} } *rdrd \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^ \frac{ 2Cos \beta }{} _ \frac{Sec \beta }{} {} \, drd \beta \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \,(2Cos \beta -Sec \beta )d \beta \\ \\ = 2Sen \beta -ln|Sec \beta +tg \beta | |(0, \frac{ \pi }{4} )$

$\\ = 2Sen ( \frac{ \pi }{4} )-ln|Sec ( \frac{ \pi }{4} )+Tg(\frac{ \pi }{4}) |-2Sen(0)+ln|Sec(0)+Tg(0)| \\ \\ = 2* \frac{ \sqrt{2} }{2} -ln| \frac{1}{Cos(\frac{ \pi }{4} )} +1|-0+ln| \frac{1}{Cos(0)} +0| \\ \\ = \sqrt{2} - ln| \frac{1}{\frac{ \sqrt{2} }{2} } +1|-ln|1| \\ \\ = \sqrt{2} - ln| \frac{2}{ \sqrt{2} } +1|-0 \\ \\ = \sqrt{2} - ln| \frac{2}{ \sqrt{2} } * \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } +1| \\ \\ = \sqrt{2} - ln| \frac{2 \sqrt{2} }{ 2} +1|$

$\\ = \sqrt{2} - ln| \sqrt{2} +1|$

Observe o desenho geométrico abaixo.