Question

Calcule a integral limite de 0 a pi sobre 2 sen2xdx

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\sf \int_{0}^{2} sen2x \: dx$

Para integrar essa função, devemos usar a integração pelo método da substituição, já que temos a função e a derivada da mesma dentro da integral. Digamos que 2x seja igual a "u":

$\sf u = 2x$

Derivando "u" em relação a "x":

$\sf \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}2x \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2 \longleftrightarrow du = 2dx \longleftrightarrow \boxed{\sf \frac{du}{2} = dx}$

Substituindo as expressões de "u":

$\sf \int_{0}^{2} sen(u). \frac{du}{2} \longleftrightarrow \int_{0}^{2} \frac{sen(u) \: du}{2} \\ \\ \sf \frac{1}{2} \int_{0}^{2}sen(u)du$

Lembre-se que a integral do seno é igual a -cosseno, pois se você derivar o -cosseno o resultado tem que ser seno, já que integral e derivada são opostas.

$\sf \frac{1}{2} .(- cos(u)) \begin{array}{c|c}&2 \\ \\&0 \end{array}$

Substituindo a expressão que representa u:

$\sf - \frac{1}{2} .cos(2x) \begin{array}{c|c}&2 \\ \\&0 \end{array}$

Para finalizar devemos aplicar o teorema fundamental do cálculo, dado por:

$\boxed{ \sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)}$

Aplicando:

$\sf - \frac{1}{2} .cos(2.2) - \left( - \frac{1}{2} \right cos(2.0)) \\ \\ \sf - \frac{1}{2}.cos(4) + \frac{1}{2} .cos(0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf - \frac{1}{2} .cos(4) + \frac{1}{2} \: \: \: \: \: \: ou \: \: \approx 0,826$

Espero ter ajudado