Matemática, perguntado por eduardocysneiros, 9 meses atrás

Calcule a integral limite de 0 a pi sobre 2 sen2xdx

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii
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Temos a seguinte integral definida:

 \sf \int_{0}^{2} sen2x  \: dx \\

Para integrar essa função, devemos usar a integração pelo método da substituição, já que temos a função e a derivada da mesma dentro da integral. Digamos que 2x seja igual a "u":

 \sf u = 2x

Derivando "u" em relação a "x":

 \sf  \frac{du}{dx}  =  \frac{d}{dx}2x \longleftrightarrow  \frac{du}{dx}   = 2  \longleftrightarrow du = 2dx \longleftrightarrow   \boxed{\sf \frac{du}{2}  = dx} \\

Substituindo as expressões de "u":

 \sf \int_{0}^{2} sen(u). \frac{du}{2}   \longleftrightarrow  \int_{0}^{2} \frac{sen(u) \: du}{2}  \\  \\  \sf  \frac{1}{2}  \int_{0}^{2}sen(u)du

Lembre-se que a integral do seno é igual a -cosseno, pois se você derivar o -cosseno o resultado tem que ser seno, já que integral e derivada são opostas.

 \sf \frac{1}{2}  .(- cos(u)) \begin{array}{c|c}&2 \\  \\&0 \end{array}

Substituindo a expressão que representa u:

 \sf  - \frac{1}{2}  .cos(2x) \begin{array}{c|c}&2 \\  \\&0 \end{array}

Para finalizar devemos aplicar o teorema fundamental do cálculo, dado por:

 \boxed{ \sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)}

Aplicando:

 \sf  -  \frac{1}{2} .cos(2.2) -  \left( - \frac{1}{2}   \right cos(2.0)) \\  \\  \sf  -  \frac{1}{2}.cos(4) +  \frac{1}{2}  .cos(0) \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \\  \\  \sf  -  \frac{1}{2} .cos(4) +  \frac{1}{2}  \:   \:  \:  \:  \:  \:  ou \:  \:  \approx 0,826

Espero ter ajudado


eduardocysneiros: a integral vai de 0 a PI/2 de sen2xdx
Nefertitii: fui no automático e nem notei
Nefertitii: sorry
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