Question

Calcule a integral indefinida

x) $\int\ {} (\frac{cos~x}{sen~x}) \, dx$

Answer 1

Lucas!

Vamos substituir "Senx = u"

$u = Senx$

Derivando implicitamente ambos os lados em relação a "u"

$\\ \frac{d}{du}(u) = \frac{d}{du} (Senx) \\ \\ 1 = Cosx *\frac{dx}{du} \\ \\ du = Cosxdx$


Substituindo essas informações:

$\\ \int\limits { \frac{Cosx}{Senx} } \, dx = \int\limits { \frac{1}{u} } \, du$

Nesse caso, não podemos usar integração por potência.
Uma vez que que deve ser:

$n \neq -1$

Nesse caso particular usamos :

$\\ \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = Ln|u|+C$

Então, nossa integral será...

$\\ \int\limits { \frac{1}{u} } \, du = Ln|u|$

Substituindo "u = Senx"

$\\ = Ln|Senx|$

Lembrando novamente da constante "K"

$\\ = Ln|Senx|+K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{cos \left(x\right)}{sin \left(x\right)}dx\\\\\\\int \frac{1}{u}du\\\\\\=ln \left|u\right|\\\\=ln \left|sin \left(x\right)\right|\\\\\\\to \boxed{\sf =ln \left|sin \left(x\right)\right|+C}$