Question

Calcule a integral indefinida ∫ x - 3/x2 - 3x + 2 dx usando o método das frações parciais

Answer 1

1) Analicemos la fracción
                              $\dfrac{x-3}{x^2-3x+2}$
es una fracción propia. Ahora factoricemos el denominador

                 $\dfrac{x-3}{x^2-3x+2}=\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}$

2) Fracciones parciales
                    $\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-2}$

2.1) Sumamos

             $\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{(A+B)x-(2A+B)}{(x-1)(x-2)}$

2.2) comparamos numeradores

                            $x-3=(A+B)x-(2A+B)$

2.3) comparamos coeficientes

                        $A+B = 1\\ 2A+B = 3$

2.4) resolvemos el sistema
                              $A=2\;,\; B=-1$

Entonces de (2) tenemos
             $\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x-2}$

3) Integramos:

           $\displaystyle \int\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}dx=\int\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x-2}dx\\ \\ \\ \int\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}dx=\int\dfrac{2}{x-1}dx-\int\dfrac{1}{x-2}dx\\ \\ \\ \int\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}dx=2\ln |x-1|-\ln|x-2|+C\\ \\ \\ \boxed{\int\dfrac{x-3}{(x-1)(x-2)}dx=\ln\left[ \dfrac{(x-1)^2}{|x-2|}\right]+C}$