Question

Calcule a integral indefinida.


$\mathsf{\displaystyle\int\sqrt{1+senh^2(x)}~dx}$



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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int\sqrt{1+\sinh^2 x}\,dx$

Aplicando a identidade hiperbólica fundamental:

Atenção! Não confundir com a identidade trigonométrica circular.

     $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\\\\ \cosh^2 x=1+\sinh^2 x$

A integral fica

     $=\displaystyle\int\sqrt{\cosh^2 x}\,dx\\\\\\ =\int|\cosh x|\,dx$

Mas para todo $x$ real, $\cosh x\ge 1,$ de modo que o módulo pode ser dispensado:

     $=\displaystyle\int\cosh x\,dx\\\\\\ =\sinh x+C$

Esta é a resposta, se tratando de uma integral imediata.

Bons estudos! :-)