Question

Calcule a integral indefinida:


$\mathsf{\displaystyle\int e^x \cdot cos~x~dx}$


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Calcular a integral indefinida:

I₀ = ∫ e^x · cos x dx

Método de integração por partes:

Aqui é irrelevante a escolha de u e dv, pois ambas as funções exponencial e^x e cosseno cos x têm a mesma complexidade, e não se tornam mais complicadas ao serem derivadas ou integradas.

Dessa forma, tomemos

u = e^x
dv = cos x dx

v = sen x
du = e^x dx

Então,

∫ u dv = uv − ∫ v du

∫ e^x · cos x dx = e^x · sen x − ∫ sen x · e^x dx

I₀ = e^x · sen x − ∫ e^x · sen x dx

I₀ = e^x · sen x − I₁ (i)

=====

A integral que apareceu no lado direito é de mesma complexidade da integral I₀ original:

I₁ = ∫ e^x · sen x dx

Aplicando integração por partes novamente,

u = e^x
dv = sen x dx

v = − cos x
du = e^x dx

Então,

∫ u dv = uv − ∫ v du

∫ e^x · sen x dx = e^x · (− cos x) − ∫ (− cos x) · e^x dx

I₁ = − e^x · cos x + ∫ e^x · cos x dx

I₁ = − e^x · cos x + I₀ (ii)

=====

Substituindo (ii) em (i), obtemos

I₀ = e^x · sen x − (− e^x · cos x + I₀)

I₀ = e^x · sen x + e^x · cos x − I₀

Isolando I₀,

I₀ + I₀ = e^x · sen x + e^x · cos x

2 · I₀ = e^x · (sen x + cos x)

I₀ = (1/2) · e^x · (sen x + cos x) + C

∫ e^x · cos x dx = (1/2) · e^x · (sen x + cos x) + C <——— esta é a resposta

sendo C uma constante de integração.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Integral por partes

$\boxed{\boxed{\displaystyle\sf{\int u~dv=u\cdot v-\int v~du}}}$

Macete para escolha do "u"

$\begin{array}{c|l}I&inversa~trigonometrica\\L&logaritmo\\A&aritmetica\\T&trigonometrica\\E&exponencial\end{array}$

$\dotfill$

$\displaystyle\sf{\int e^x\cdot cos(x)~dx}$

$\sf{u=cos(x)\implies du=-sen(x)~dx}\\\sf{dv=e^x~dx\implies v=e^x}$

$\displaystyle\sf{\int e^x cos(x)~dx=e^x\cdot cos(x)-\int e^x\cdot(-sen(x))~dx}\\\displaystyle\sf{\int e^x cos(x)~dx=e^x\cdot cos(x)+\int e^x sen(x)~dx}$

$\displaystyle\sf{\int e^x sen(x)~dx}$

faça

$\sf{u_1=sen(x)\implies~du_1=cos(x)~dx}\\\sf{dv_1=e^x~dx\implies v_1=e^x}$

$\displaystyle\sf{\int e^x sen(x)~dx=e^x\cdot sen(x)-\int e^x cos(x)dx}$

Note que o resultado desta Integral retornou ao que queriamos calcular anteriormente de modo que agora podemos substituir esse resultado na Integral principal.

$\displaystyle\sf{\int e^x cos(x)~dx=e^x\cdot cos(x)+\left[e^x\cdot sen(x)-\int e^x cos(x)~dx\right]}\\\displaystyle\sf{\int e^x cos(x)~dx+\int e^x cos(x)~dx=e^x\cdot cos(x)+e^x sen(x)}\\\displaystyle\sf{2\cdot\int e^x cos(x)~dx=e^x\left[cos(x)+sen(x)\right]}\\\displaystyle\boxed{\boxed{\sf{\int e^x cos(x)~dx=\dfrac{1}{2}\cdot e^x\left[sen(x)+cos(x)\right]+k}}}$