Question

Calcule a integral indefinida.


$\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{cosx+xsenx}{x\cdot (x+cosx)}~dx}$

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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Calcular a integral indefinida:

     $\displaystyle\int\frac{\cos x+x\sin x}{x(x+\cos x)}\,dx$


A ideia é fazer aparecer no numerador a derivada do denominador, ou dos fatores do denominador.

Manipule o numerador de forma conveniente. Primeiro, some e subtraia  x  ao numerador:

     $\displaystyle=\int\frac{\cos x+x\sin x+x-x}{x(x+\cos x)}\,dx\\\\\\ =\int\frac{x+\cos x-x+x\sin x}{x(x+\cos x)}\,dx\\\\\\ =\int\frac{(x+\cos x)-x(1-\sin x)}{x(x+\cos x)}\,dx$


Separe convenientemente as frações, e simplifique os fatores comuns:

     $\displaystyle=\int\left[\frac{x+\cos x}{x(x+\cos x)}-\frac{x(1-\sin x)}{x(x+\cos x)}\right]dx\\\\\\ =\int\left[\frac{1}{x}-\frac{1-\sin x}{x+\cos x}\right]dx\\\\\\ =\int\frac{1}{x}\,dx-\int\frac{1}{x+\cos x}\cdot (1-\sin x)\,dx$


A integral que surge na 1ª parcela é imediata. Já a integral na 2ª parcela sai por substituição:

     $x+\cos x=u\quad\Longrightarrow\quad (1-\sin x)\,dx=du$


e a integral fica

     $\displaystyle=\int\frac{1}{x}\,dx-\int\frac{1}{u}\,du\\\\\\ =\ln\!|x|-\ln\!|u|+C$

     $=\ln\!|x|-\ln\!|x+\cos x|+C\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)