Question

Calcule a integral indefinida:

$\large\begin{array}{l}\mathsf{\displaystyle\int\!\frac{e^x}{arcsen(e^x)\cdot \sqrt{1-e^{2x}}}\,dx}\end{array}$

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Instruções: A resposta mais bem detalhada e organizada será marcada como a melhor, além de receber obrigado e estrelinhas.

Só responda se souber. Quem responder errado de propósito, com brincadeiras apenas para ganhar os pontos, terá a resposta eliminada e os pontos retirados. Obrigado. =)

Tags:  função composta racional fração arco seno arcsen raiz quadrada sqrt irracional exponencial cálculo integral

Answer 1

$\displaystyle \int\limits\frac{e^x}{\arcsin(e^x)\sqrt{1-e^{2x}}}dx$
Substituição:
$u=e^x\implies du=e^xdx$

$\displaystyle \int\limits\frac{e^x}{\arcsin(e^x)\sqrt{1-e^{2x}}}dx=\int\frac{1}{\arcsin u\cdot\sqrt{1-u^2}}du$

Substituição:
$\arcsin(u)=v\implies \displaystyle dv=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$

$\displaystyle \int\frac{1}{\arcsin u\cdot\sqrt{1-u^2}}du=\int\frac{1}{v}dv$

Calcular a integral indefinida e voltar com as substituições feitas:
$\displaystyle \int\frac{1}{v}dv=\ln|v|+C$
$v=\arcsin(u)\\u=e^x$
logo:
$\displaystyle \ln|v|+C=\ln|\arcsin(u)|+C=\ln|\arcsin(e^x)|+C$

Então:
$\boxed{\int\frac{e^x}{\arcsin(e^x)\cdot\sqrt{1-e^{2x}}}dx=\ln|\arcsin (e^x)|+C}$