Question

Calcule a integral indefinida:

$\int - \frac{ \sqrt{a^{2} - x {}^{2} } }{x} dx \: \: com \: a \: constante$
Preciso de ajuda. Explicar detalhadamente por favor, grato.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{I = -a \left( \ln \left| \dfrac{a - \sqrt{a^2-x^2}}{x} \right| + \dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} \right) + c }$

Explicação passo-a-passo:

$I = \int - \dfrac{ \sqrt{a^{2} - x^{2} } }{x} dx$

Por uma prévia observação estrutural da integral indefinida destacada, evidentemente que é mais viável o uso do método de substituição trigonométrica.

Observe que a expressão irracional no numerador é um dos catetos $\sqrt{a^2 - x^2}$, sendo a hipotenusa $a$ e o outro cateto $x$. (observe o anexo para mais detalhes)

Podemos deste modo aplicar as relações trigonométricas que podem nos permitir relacionar os catetos com a hipotenusa, evidentemente que tratam-se das relações seno e cosseno, aplicando-as teremos,

(i) aplicando o seno do ângulo em questão:

$\iff \sin (\theta) = \dfrac{x}{a}$

$\iff \green{x} = \green{a \sin( \theta )}$

$\iff \dfrac{dx}{d \theta} = a \cos( \theta )$

$\Longrightarrow \boxed{dx = a \cos(\theta) d \theta}$

(ii) aplicando o co-seno do ângulo em questão:

$\iff \cos( \theta) = \dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$

$\\ \iff \boxed{\red{\sqrt{a^2 - x^2}}] = \red{a \cos( \theta)}}$

Podemos deste modo, efectuar as respectivas substituições, portanto, a integral,

$I= -\int \dfrac{ \sqrt{a^{2} - x^{2} } }{x} dx$

é igual a

$I = - \int \dfrac{\red{a \cos( \theta)}}{ \green{a\sin(\theta)} } * a \cos( \theta) d \theta$

Portanto, efectuando estás operações simples, ficaremos com:

$\\ \iff I = - a\int \dfrac{\red{ \cos^{2} ( \theta)}}{ \sin(\theta) } d \theta$

$\\ \iff I = - a\int \dfrac{\red{ 1 - \sin^{2} ( \theta)}}{ \sin(\theta) } d \theta$

$\\ \iff I = - a \left(\int \dfrac{1}{ \sin(\theta) } d \theta - \int \dfrac{ \sin^{2} ( \theta)}{ \sin(\theta) } d \theta \right)$

$\\ \iff I = - a \left(\underbrace{\int { \csc(\theta)d \theta }}_{ \ln | \csc( \theta) - \cotg(\theta) | + c} - \int { \sin(\theta) } d \theta \right)$

$\\ \iff I = -a \Big( \ln | \csc( \theta) - \cotg(\theta) | + \cos( \theta) \Big) + c$

Deste modo, podemos efectuar a substituição novamente, porque a nossa variável é x, e não theta,

$\\ \iff I = -a \left( \ln \left| \dfrac{a}{x} - \dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{x} \right| + \dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + c$

$\\ \iff \boxed{I = -a \left( \ln \left| \dfrac{a - \sqrt{a^2-x^2}}{x} \right| + \dfrac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + c }$

Espero ter colaborado, esteja a vontade pra efetuar qualquer dúvida, abraços!)

Answer 2

$\tt \displaystyle \int \:-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx\\\\\\\tt =-\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx\\\\\\\tt =-\frac{1}{2}\cdot \int \frac{\sqrt{a^2-u}}{u}du\\\\\\\tt =-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2-u}-\int \frac{u-2a^2}{2u\sqrt{-u+a^2}}du\right)\\\\\\\tt =-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2-u}-\left(-\sqrt{-u+a^2}+a\left(\ln \left|\frac{\sqrt{-u+a^2}}{a}+1\right|-\ln \left|\frac{\sqrt{-u+a^2}}{a}-1\right|\right)\right)\right)\\\\\\\tt$

$\tt \displaystyle =-\frac{1}{2}\left(2\sqrt{a^2-x^2}-a\ln \left|\frac{\sqrt{-x^2+a^2}}{a}+1\right|+a\ln \left|\frac{\sqrt{-x^2+a^2}}{a}-1\right|\right)\\\\\\\tt \to \boxed{\sf =-\frac{1}{2}\left(2\sqrt{a^2-x^2}-a\ln \left|\frac{\sqrt{-x^2+a^2}}{a}+1\right|+a\ln \left|\frac{\sqrt{-x^2+a^2}}{a}-1\right|\right)+C}$