Question

Calcule a Integral Indefinida

$\displaystyle \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{x^{2} - 2}} \, dx$

Answer 1

Integral por substituição trigonométrica. Lembrando que a substituição adequada nesse caso é:

$\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\ \\ x=a \sin \theta$

Então temos:

$\displaystyle \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{2-x^{2}}} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{(\sqrt{2})^{2}-x^{2}}} \, dx \\ \\ \\ x=\sqrt{2} \sin \theta \\ \\ dx=\sqrt{2} \cos \theta \, d \theta \\ \\ \\ \int \frac{1}{(\sqrt{2} \sin \theta)^{4} \sqrt{2-(\sqrt{2} \sin \theta)^{2}}} \, \cdot \sqrt{2} \cos \theta \, d \theta \\ \\ \\ \int \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{4 \sin^{4} \theta \sqrt{2-2 \sin^{2} \theta}} \, d \theta$

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{4 \sin^{4} \theta \sqrt{2(1-\sin^{2} \theta)}} \, d \theta$

Considerando a identidade trigonométrica sin²θ + cos²θ = 1, então:

$\cos^{2} \theta=1-\sin^{2} \theta$

Daí temos:

$\displaystyle \int \frac{\sqrt{2} \cos \theta}{4 \sin^{4} \theta \sqrt{2\cos^{2} \theta}} \, d \theta \\ \\ \\ \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta}{4\sin^{4} \theta \cdot \sqrt{2}\cos \theta} \, d \theta \\ \\ \\ \int \frac{1}{4\sin^{4} \theta} \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{\sin^{4} \theta} \, d \theta \\ \\ \\ \frac{1}{4} \cdot \int \csc ^{4} \theta$

Considere a fórmula para a integral por parte da função cossecante elevada à enésima potência:

$\displaystyle \int \csc^{n} u \, du = \frac{-1}{n-1}\cot u \cdot \csc^{n-2} u + \frac{n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} u \, du$

Aplicando-a:

$\displaystyle \int \csc^{4} \theta \, d \theta = \frac{-1}{4-1}\cot \theta \cdot \csc^{4-2} \theta + \frac{4-2}{4-1} \int \csc^{4-2} \theta \, d \theta \\ \\ \\ \int \csc^{4} \theta \, d \theta = \frac{-1}{3}\cot \theta \cdot \csc^{2} \theta + \frac{2}{3} \int \csc^{2} \theta \, d \theta$

A integral de csc² θ:

$\displaystyle \int \csc^{2} \theta \, d \theta = \frac{-1}{2-1}\cot \theta \cdot \csc^{2-2} \theta + \frac{2-2}{2-1} \int \csc^{2-2} \theta \, d \theta \\ \\ \\ \int \csc^{2} \theta \, d \theta = - \cot \theta$

Continuando com a integral principal:

$\displaystyle \int \csc^{4} \theta \, d \theta = \frac{-1}{3}\cot \theta \cdot \csc^{2} \theta + \frac{2}{3} \cdot (-\cot \theta) \\ \\ \\ \int \csc^{4} \theta \, d \theta = \boxed{\boxed{ -\frac{1}{3} \cot \theta \cdot \csc^{2} \theta - \frac{2}{3} \cot \theta + c}}$

Multiplicando por 1/4, temos por fim:

$\displaystyle \int \frac{1}{4}\csc^{4} \theta \, d \theta= \boxed{\boxed{-\frac{1}{12} \cot \theta \cdot \csc^{2} \theta - \frac{1}{6} \cot \theta + c}}$

Tendo como base:

$\displaystyle x=\sqrt{2} \sin \theta \\ \\ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Agora imagine um triângulo, pela fórmula anterior, presumimos que o Cateto Oposto ao angulo é x e a hipotenusa é √2, e aplicando Pitágoras, o Cateto Adjacente y é:

$\displaystyle (\sqrt{2})^{2} = x^{2}+y^{2} \\ \\ y=\sqrt{2-x^{2}}$

Pelas fórmulas:

$\displaystyle \cot \theta = \frac{CATETO \, \, ADJACENTE}{CATETO \, \, OPOSTO} \\ \\ \\ \cot \theta = \frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} \\ \\ \\ \csc \theta = \frac{HIPOTENUSA}{CATETO \, \, OPOSTO} \\ \\ \\ \csc \theta = \frac{\sqrt{2}}{x}$

Concluindo:

$\displaystyle \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{2-x^{2}}} \, dx = -\frac{1}{12} \cot \theta \cdot \csc^{2} \theta - \frac{1}{6} \cot \theta + c \\ \\ \\ \int \frac{1}{x^{4} \sqrt{2-x^{2}}} \, dx = \boxed{\boxed{\displaystyle -\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{6x^{3}}-\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{6x}+c}}$