Question

Calcule a integral indefinida:

$\displaystyle\int (2x^4-x^3+4x^2-3x)e^{x^2+x+1}\,dx$

Answer 1

Olá Lukyo.

Sabendo que:

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}~P(x)\cdot e^{Q(x)}=e^{Q(x)}\cdot(P'(x)+Q'(x)\cdot P(x))}$

Onde P e Q são polinômios. A ideia então seria deixar o polinômio que queremos integrar no seguinte formato.

$\mathsf{(2x^4-x^3+4x-3x)e^{x^2+x+1}\equiv (P'(x)+Q'(x)\cdot P(x))e^{Q(x)}}$

Então temos:

$\mathsf{Q(x)=x^2+x+1}\\\\\mathsf{Q'(x)=2x+1}$

Portanto, P deverá ser um polinômio de grau 3, pois P' será um grau menor que P, logo, o quem irá gerar um monõmio de grau 4 será o produto de P por Q'.

$\mathsf{P(x)=ax^3+bx^2+cx+d}\\\\\mathsf{P(x)=3ax^2+2bx+c}$

Substituindo em nossa identidade.

$\mathsf{3ax^2+2bx+c+(ax^3+bx^2+cx+d)(2x+1)\equiv2x^4-x^3+4x-3x}$

Faça x = 0

$\mathsf{3\cdot0^2+2b\cdot0+c+(a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d)(2\cdot0+1)=2\cdot0^4-0^3+4\cdot0-3\cdot0}\\\\\\\mathsf{c+d=0}$

Como vimos antes, os responsáveis por gerar um monômio de grau 4 será o produto de P por Q', ou seja, o produto entre ax³ por 2x.

$\mathsf{2x\cdot ax^3\equiv2x^4}\\\\\mathsf{2ax^4\equiv2x^4}\\\\\mathsf{a=1}$

Faça $\mathsf{x=-\frac{1}{2}}$ para zerar (2x + 1).

$\mathsf{3\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^3+2b\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)+\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)+0=2\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^4-\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^3+4\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^2-3\cdot\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3}{4}+c-b=\dfrac{11}{4}}\\\\\\\mathsf{c-b=\dfrac{11}{4}-\dfrac{3}{4}}\\\\\\\mathsf{c-b=2}$

Encontrando o coeficiente do monômio de grau 1.

$\mathsf{x\cdot(2d+c+2b)\equiv-3x}\\\\\mathsf{2d+c+2b=-3}~(i)$

Mas sabemos que:

$\mathsf{c-b=2}\\\\\mathsf{c+d=0}$

Multiplique a primeira equação por 2 e a segunda equação por - 2.

$\mathsf{2c+2d=0}\\\\\mathsf{-2c+2b=-4}\\\\\mathsf{(2c+2d)-(2c-2b)=0-4}\\\\\mathsf{2d+2b=-4}~(ii)$

Substituindo (ii) em (i).

$\mathsf{(2d+2b)+c=-3}\\\\\mathsf{(-4)+c=-3}\\\\\mathsf{c=1}$

Achando b e d.

$\mathsf{c-b=2\qquad\qquad c+d=0}\\\\\mathsf{b=-1\qquad\qquad d=-1}$

Portanto P tem o seguinte formato:

$\mathsf{P(x)=x^3-x^2+x-1}$

Logo:

$\mathsf{\displaystyle\int (2x^4-x^3+4x^2-3x)e^{x^2+x+1}~dx=\int [3x^2-2x+1+(x^3-x^2+x-1)(2x+1)]e^{x^2+x+1}~dx=(x^3-x^2+x-1)e^{x^2+x+1}+C}\\\\\\\mathsf{\displaystyle\int (2x^4-x^3+4x^2-3x)e^{x^2+x+1}~dx=(x^3-x^2+x-1)e^{x^2+x+1}+C}$

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