Question

Calcule a integral indefinida

j) $\int\ {} \frac{y^4+2y^2-1}{ \sqrt{y} } \, dy$

Answer 1

Olá Lucas!

Antes de integral, iremos dividir cada termo do numerado por "√y"

$\int\limits \frac{y^4+2y^2-1}{ \sqrt{y} } \, dx = \int\limits \frac{y^4}{ \sqrt{y} } + \frac{2y^2}{ \sqrt{y} }- \frac{1}{ \sqrt{y} } } \, dx$

Segundo passo, reescrever √y como potência:

$\int\limits \frac{y^4}{y^ \frac{1}{2} }+ \frac{2y^2}{y^ \frac{1}{2} }- \frac{1}{y^ \frac{1}{2} } {x} \, dx$

Utilize regras de potenciação:

$\\ \int\limits y^4^-^ \frac{1}{2} +2y^2^-^ \frac{1}{2} -1y^-^ \frac{1}{2} \, dx \\ \\ \int\limits y^ \frac{7}{2}+2y^ \frac{3}{2} -y^-^ \frac{1}{2} \, dx$

Agora sim, que devemos usar a regra da integral por potência:

$\\ \int\limits x^n {} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} ,n \neq -1$

Iremos usar para os 3 termos no integrando!

$\\ = \frac{y^ \frac{7}{2}^+^1 }{ \frac{7}{2}^+^1} + \frac{2y^ \frac{3}{2} ^+^1}{ \frac{3}{2} ^+^1} - \frac{y^ \frac{-1}{2}^+^1 }{\frac{-1}{2}^+^1 } \\ \\ = \frac{y^ \frac{9}{2} }{ \frac{9}{2} } + \frac{2y^ \frac{5}{2} }{ \frac{5}{2} } - \frac{y^ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} } \\ \\ = \frac{2y^ \frac{9}{2} }{9}+\frac{4y^ \frac{5}{2} }{5} -\frac{2y^ \frac{1}{2} }{1}$

Passando para o formato de raiz:

$\\ = \frac{2y^ \frac{9}{2} }{9}+\frac{4y^ \frac{5}{2} }{5} -\frac{2y^ \frac{1}{2} }{1} \\ \\ = \frac{2 \sqrt[2]{y^9} }{9}+\frac{4 \sqrt[2]{y^5} }{5} - 2\sqrt{y}$

Deixando claro que devemos colocar a constante "k" no final...


$\\ = \frac{2 \sqrt[2]{y^9} }{9}+\frac{4 \sqrt[2]{y^5} }{5} - 2\sqrt{y} +K$

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{y^4+2y^2-1}{\sqrt{y}}\:dy\\\\\\=\int \:y^{\frac{7}{2}}+2y^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{y}}dy\\\\\\=\int \:y^{\frac{7}{2}}dy+\int \:2y^{\frac{3}{2}}dy-\int \frac{1}{\sqrt{y}}dy\\\\\\=\frac{2}{9}y^{\frac{9}{2}}+\frac{4}{5}y^{\frac{5}{2}}-2\sqrt{y}\\\\\\\to \boxed{\sf =\frac{2}{9}y^{\frac{9}{2}}+\frac{4}{5}y^{\frac{5}{2}}-2\sqrt{y}+C}$