Question

Calcule a integral indefinida abaixo:
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Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta integral indefinida, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integração por partes.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int x\cdot e^{2x}\,dx}$

A técnica de integração por partes consiste em escolher uma função e substituí-la como $u$ e outra função por $dv$. Como critério de escola, utilizamos a propriedade LIATE: priorizam-se as funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Assim, aplicamos as funções na fórmula: $\boxed{\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du}}$

De acordo com a propriedade supracitada, fazemos $u=x$ e $dv=e^{2x}\,dx$.

Diferenciamos a expressão em $u$ e integramos a expressão em $dv$:

$(u)'=(x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int e^{2x}\,dx}\\\\\\ v = \dfrac{e^{2x}}{2}$

Substituindo estes resultados na fórmula, temos:

$\displaystyle{x\cdot \dfrac{e^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\cdot dx}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^{2x}\,dx}$

Calcule a integral, fazendo uma substituição $t=2x$. Diferenciamos a expressão em $t$:

$(t)'=(2x)'\\\\\\ \dfrac{dt}{dx}=2\Rightarrow dt=2\,dx\\\\\\ dx=\dfrac{dt}{2}$

$\displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\int e^{t}\cdot \dfrac{dt}{2}}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\int e^t\,dt}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot\int e^t\,dt}$

Sabendo que $\displaystyle{\int e^{x}\,dx=e^x+C}$, temos:

$\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{1}{4}\cdot(e^t+C_1)\\\\\\ \dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{t}}{4}-\dfrac{C_1}{4}$

Desfaça a substituição em $t$ e considere $-\dfrac{C_1}{4}=C$

$\bold{\dfrac{x\cdot e^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}+C,~C\in\mathbb{R}}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Para resolver esta integral indefinida, precisamos conhecer os seguintes artifícios:

$\int {e^{ax}} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax}$ (integral da função e^(ax))

$\int {u} \, dv = uv - \int{v} \, du$ (integração por partes)

Ou seja, para resolver esta integral em que temos o produto de duas funções de x, precisamos integrar uma das partes e derivar a outra.

Neste caso, faremos:

$u = x\\dv = e^{2x}$

Podemos notar que na fórmula da integração por partes, precisamos encontrar v e du, daí:

$u = x \Rightarrow du = 1 dx\\dv = e^{2x} \Rightarrow v = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

E aplicando na fórmula, temos:

$\int x\cdot e^{2x} \, dx = x\cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 1 \, dx = \frac{x\cdot e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2x} \, dx$

A última integral é facilmente resolvida, então:

$\int x\cdot e^{2x} \, dx = \frac{x\cdot e^{2x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} = \frac{x\cdot e^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4} + C$

Obs.: NUNCA, nunca esqueça da constante de integração C, a não escrita dela na resposta final invalida a resposta.

Espero ter ajudado.