Matemática, perguntado por breneras16, 1 ano atrás

calcule a integral indefinida | 3/xln⁴ 3x . dx

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
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É dada a seguinte integral indefinida:

\displaystyle I = \int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx

Para resolvê-la, vamos fazer uma substituição. Seja u = \ln(3x). Então:

du = 3\cdot\dfrac{1}{x}dx

Mas, u = \ln(3x)\Longrightarrow 3x = e^u\Longrightarrow x = \dfrac{e^u}{3}. Usando acima:

du = 3\cdot\dfrac{1}{ \dfrac{e^u}{3}}dx\\\\
du = \dfrac{9}{e^u}dx\\\\
dx = \dfrac{e^u}{9}du

Agora, basta aplicarmos a substituição na integral:

\displaystyle I = \int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx\\\\
I = \int \dfrac{3}{\dfrac{e^u}{3}\cdot u^4}\cdot \dfrac{e^u}{9}du\\\\
I = \int \dfrac{9}{e^u\cdot u^4}\cdot \dfrac{e^u}{9}du\\\\
I = \int \dfrac{du}{u^4}=\int u^{-4}\,du\\\\
I = \left[\dfrac{u^{-4+1}}{-4+1}\right]+C\\\\
I = -\dfrac{u^{-3}}{3}+C\\\\
I = -\dfrac{1}{3u^3}+C

Agora, basta retornarmos à variável original:

I = -\dfrac{1}{3\ln^3(3x)}+C\\\\
\boxed{\displaystyle\int \dfrac{3}{x \ln^4(3x)}dx=-\dfrac{1}{3\ln^3(3x)}+C}
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