Question

calcule a integral impropria dx/raiz de x -1 integrando de 1 ate 2

Answer 1

$\int\limits^2_1 { \frac{1}{ \sqrt{x-1} } } \, dx$

observando o dominio vc pode ver que a função é descontinua quando x=1
então temos 
$\boxed{\boxed{\lim_{b \to 1+} \int\limits^2_b { \frac{1}{ \sqrt{x-1} } } \, dx }}$

integrando por substituiçao
$u=x-1\\\\ du=1dx$

vamos ter que observar a funçao quando ela se aproxima de 0 pela direita
${\lim_{b \to 1+} \int\limits^2_b { \frac{1}{ \sqrt{u} } } \, du$

integrando
$\int u^{- \frac{1}{2} }du= \frac{u^{- \frac{1}{2}+1 }}{- \frac{1}{2}+1} = \frac{u^ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{2} } = 2 \sqrt{u} \\\\ \text{como u = x-1} \\\\ \int \frac{1}{ \sqrt{x-1} }dx = 2 \sqrt{x-1}$

calculando para os intervalos
de b até 2
 ficamos com 

$\lim_{b \to 1+} \int\limits^2_b { \frac{1}{ \sqrt{x-1} } } \, dx \\\\ = \lim_{b \to 1+} 2 \sqrt{2-1}- (2 \sqrt{b-1}) \\\\ \boxed{ \boxed{\lim_{b \to 1+} (2 - 2 \sqrt{b-1} ) }}$

quando B tende a 1 pela a direita 
a √b-1 tende a  0

então
$\lim_{b \to 1+} (2 - 2 \sqrt{b-1} ) }} = 2 - 2* \sqrt{0} = 2$