Question

Calcule a integral dupla:

$\large \sf\displaystyle\int^{2} _{1}\displaystyle\int^{1}_{0} \sf( {x}^{2} + y) \: dx \: dy$
Alternativas:

A) 1/3
B) -1/2
C) 11/6
D) -11/3​

Answer 1

$\large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf\int_1^2\int_0^1(x^2+y)~dx~dy=\int_1^2\bigg[\dfrac{1}{3}x^3+xy\bigg]_0^1dy\\\displaystyle\sf\int_1^2\bigg[\dfrac{1}{3}\cdot1^3+1y\bigg]dy=\int_1^2\bigg(\dfrac{1}{3}+y\bigg)~dy\\\displaystyle\sf\dfrac{1}{3}\int_1^2dy+\int_1^2y~dy\\\sf\bigg[\dfrac{1}{3}y\bigg]_1^2+\bigg[\dfrac{1}{2}y^2\bigg]_1^2\\\sf\dfrac{1}{3}\cdot2-\dfrac{1}{3}\cdot1+\dfrac{1}{2}\cdot2^2-\dfrac{1}{2}\cdot1^2\\\sf=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{2+9}{6}=\dfrac{11}{6}\end{array}}$

Answer 2

O valor da integral dupla é

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \left(x^2+y\right)\, dxdy = \frac{11}{6}\end{gathered}$

Para resolver a integral dupla num domínio [a, b] x [c, d] podemos inverter a ordem de integração graças ao Teorema de Fubini.

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{a}^{c}\int_{b}^{d}f(x,y)\,dxdy \Leftrightarrow \int_{b}^{d}\int_{a}^{c} f(x,y)\,dydx \end{gathered}$

Quando calculamos uma integral dupla, estamos calculando um volume de um sólido, cuja a base é determinada por um domínio D de integração, e a altura é uma função de x e y, portanto podemos ainda escrever uma integral dupla como

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int\int_D f(x, y)\, dA\end{gathered}$

Onde não explicitamos quais são os limites de integração e dissemos que dxdy ou dydx é um elemento infinitessimal de área.

Agora, vamos de fato resolver essa integral, começando por x ou por y, ambas darão o mesmo resultado, optando por começar por x temos:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \left(x^2+y\right)\, dxdy\\ \\\int_{1}^{2} \left[\int_{0}^{1} \left(x^2+y\right)\, dx \right] dy\\ \\\int_{1}^{2} \left[\frac{x^3}{3} + yx\right]^1_0dy\\ \\\int_{1}^{2} \left(\frac{1}{3} + y\right)dy\end{gathered}$

E agora temos apenas uma integral em y

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_1^2 \left(\frac{1}{3}+y\right)\,dy\\ \\\left.\frac{y}{3}\right|_{1}^{2} + \left.\frac{y^2}{2}\right|_{1}^{2}\\ \\\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}\end{gathered}$

Portanto

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \left(x^2+y\right)\, dxdy = \frac{11}{6}}\end{gathered} }$

Posso dar ainda uma resolução rápida de como seria começar por y:                              

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \left(x^2+y\right)\, dydx\Rightarrow \int_{0}^{1} \left[\int_{1}^{2} \left(x^2+y\right)\, dy \right] dx\\ \\\int_{0}^{1} \left[x^2y + \frac{y^2}{2}\right]^2_1dx\Rightarrow \int_{0}^{1} \left(x^2 + \frac{3}{2}\right)dx\end{gathered}$

E por fim

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1 + \left.\frac{3x}{2}\right|_0^1 \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{11}{6}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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