Question

Calcule a integral dupla polar da função F(x, y) dada, sobre a região R apresentada por:
R:x^2+y^2=1 , onde F(x,y) = 1 -x^2 -y^2

Answer 1

Integral dupla em coordenadas polares

Algumas equações importantes:

1)

$\boxed{\boxed{\mathsf{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}}}$

2)

$\boxed{\boxed{\mathsf{x=r\cos(\theta)\:\:y=r\sin(\theta)}}}$

3)

$\boxed{\boxed{\mathsf{dxdy=rdrd\theta}}}$

A região em questão é um círculo de raio unitário, portantos os limites de integração para o raio são

$\boxed{\boxed{\mathsf{0\le\,r\le\,1}}}$

E quanto ao ângulo varia de

$\boxed{\boxed{\mathsf{0\le\,\theta\le\,2\pi}}}$

Vamos escrever a integral dupla na ordem

$rdrd\theta$

A integral pedida fica da seguinte forma:

$\huge\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}(1-{{r}^{2})rdrd\theta}}$

Ajeitando a integral temos

$\huge\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}(r-{{r}^{3})drd\theta}}$

Resolvendo a integral mais interna temos

$\huge\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}(\dfrac{1}{2}{r}^{2}-\dfrac{1}{4}{r}^{4}\big| _{0}^{1})d\theta}$

Aqui não precisaremos avaliar a integral em 0 pois tudo se anula. Sendo assim temos

$\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})d\theta}\\\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{4}d\theta}$

Avaliando a última integral temos

$\huge\mathsf{\dfrac{1}{4}\theta\big|_{0}^{2\pi}}$

novamente, não tem necessidade de avaliar a integral em 0. Portanto a resposta ficará

$\mathsf{\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}}$

Portanto

$\large\boxed{\boxed{\mathsf{\mathsf{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}(1-{{r}^{2})rdrd\theta}}=\dfrac{\pi}{2}}}}$