Question

Calcule a integral dupla: ∫ pi/6variando 0 ∫ pi/3variando 0 e xsen( x + y ) dydx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos calcular a seguinte integral dupla:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}\int_0^{\frac{\pi}{3}} x\sin(x+y)\,dy\,dx$

Primeiro, lembre-se que a integral mais interna está em respeito à variável $y$, dada a ordem de integração. Dessa forma, podemos tratar $x$ como constante e aplicar a propriedade: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx =a\cdot\int f(x)\,dx$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cdot\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(x+y)\,dy\,dx$

Então, faça uma substituição $u=x+y$. Devemos diferenciar ambos os lados, ainda em relação a variável $y$, para encontrarmos o diferencial:

$\partial_yu=\partial_y(x+y)\\\\\\ du=dy$

Lembre-se que quando alteramos a variável, devemos também alterar os limites de integração: quando $y\rightarrow0,~u\rightarrow x$ e quando $y\rightarrow\dfrac{\pi}{3},~u\rightarrow x+\dfrac{\pi}{3}$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cdot\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} \sin(u)\,du\,dx$

Lembre-se que:

• A integral da função seno é o oposto da função cosseno: $\displaystyle{\int\sin(x)\,dx=-\cos(x)$.
• A integral definida de uma função contínua em um dado intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cdot (-\cos(u))~\biggr|_x^{x+\frac{\pi}{3}}\,dx}\\\\\\\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cdot \left(-\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-(-\cos(x))\right)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}-x\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+x\cos(x)\,dx$

Lembre-se da fórmula para a soma de arcos: $\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)$.

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}-x\left(\cos(x)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin(x)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)+x\cos(x)\,dx$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$ e $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, temos

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}-\dfrac{x\cos(x)}{2}+\dfrac{x\sin(x)\sqrt{3}}{2}+x\cos(x)\,dx$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{x\cos(x)}{2}+\dfrac{x\sin(x)\sqrt{3}}{2}\,dx$

Lembre-se que a integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções e aplique a propriedade da constante, discutida acima.

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\cos(x)\,dx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{6}}x\sin(x)\,dx$

Calculamos as seguintes integrais pela técnica de integração por partes.

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot(x\sin(x)+\cos(x))+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-x\cos(x)+\sin(x))~\biggr|_0^{\frac{\pi}{6}}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)-$$\left(\dfrac{1}{2}\cdot(0\sin(0)+\cos(0))+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-0\cos(0)+\sin(0))\right)$

Sabendo que $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2},~\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2},~\sin(0)=0$ e $\cos(0)=1$, teremos:

$\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{2}$

Some os valores

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{12}-\dfrac{1}{2}$

Este é o resultado desta integral.