Question

Calcule a integral dupla onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2$x^{2}$ e y = 1 +$x^{2}$ .

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{32}{15}~u.a}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar alguns conceitos acerca da integração dupla.

Para integramos a área delimitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, devemos descobrir a qual intervalo esta área pertence.

Ao igualarmos as duas funções, teremos os dois pontos de interseção (portanto, limites inferior e superior)

Façamos $2x^2=1+x^2$

Isole $x^2$

$2x^2-x^2=1\\\\\\ x^2=1$

Retire a raiz em ambos os lados

$x=\pm~\sqrt{1}$

Sabendo que a raiz de 1 é igual a 1, temos

$x=\pm~1$

Nosso intervalo será

$-1\leq x\leq 1$

Observe o gráfico em anexo: percebe-se que a função $1+x^2$ tem imagem maior em todo o intervalo, logo deduz-se que

$2x\leq y\leq1+x^2$

Então, lembre-se que de acordo com o Teorema de Fubini, que trata sobre integrais múltiplas, existe uma ordem de integração a ser respeitada, que depende exclusivamente do comportamento da variável.

A primeira integral deve ter limites numéricos, pois o resultado final deve ser um número. Logo, a variável a ser integrada por último será aquele que varia entre dois números.

A segunda integral deve ter limites em função da primeira variável, logo a variável a ser integrada primeiro varia entre duas funções de x.

Portanto, afirmamos a integral na qual uma área delimitada por duas funções pode ser reescrita como:

$\displaystyle{\int\int_Df(x,~y)\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}f(x,~y)\,dy\,dx}$

Tal que $a\leq x\leq b$ e $g(x)\leq y\leq f(x)$.

Como trabalhado anteriormente, podemos substituir as funções e os valores na integral:

$\displaystyle{\int_{-1}^1\int_{2x^2}^{1+x^2}x+2y~\,dy\,dx}$

Sabemos que a integral de uma soma de duas funções pode ser reescrita como a soma da integral de cada função, ou seja $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\, dx}$.

Aplique esta propriedade na integral interna

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(\int_{2x^2}^{1+x^2}x\,dy+\int_{2x^2}^{1+x^2}2y~\,dy\right)\,dx}$

A primeira integral pode ser calculada ao considerar x uma constante, visto que a integral está definida para y. Logo, a partir da propriedade $\displaystyle{\int a\,dx=a\cdot x}$, temos que

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(x\cdot y~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}+\int_{2x^2}^{1+x^2}2y~\,dy\right)\,dx}$

A outra integral pode ser calculada a partir da propriedade da integral de uma potência, dada por $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. Teremos:

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(x\cdot y~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}+2\cdot\dfrac{y^{2}}{2}~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}\right)\,dx}$

Multiplique os valores e substitua os limites na função, lembrando que, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$, na qual $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$\displaystyle{\int_{-1}^1\left(x\cdot~y~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}+y^{2}~\biggr|_{2x^2}^{1+x^2}\right)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1x\cdot (1+x^2-2x^2)+(1+x^2)^2-(2x^2)^2\right\,dx}$

Some os valores dentro dos parênteses e expanda os binômios, lembrando que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$\displaystyle{\int_{-1}^1x\cdot (1-x^2)+1+2x^2+x^4-4x^4\right\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-1}^1 x-x^3+1+2x^2+x^4-4x^4\right\,dx}$

Some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_{-1}^1 x-x^3+1+2x^2-3x^4\right\,dx}$

Então, a partir da propriedade para a integral de potências discutida acima, temos

$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}+x+\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{3x^5}{5}~\biggr|_{-1}^1$

Substitua os limites

$\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^4}{4}+1+\dfrac{2\cdot1^3}{3}-\dfrac{3\cdot1^5}{5}-\left(\dfrac{(-1)^2}{2}-\dfrac{(-1)^4}{4}-1+\dfrac{2\cdot(-1)^3}{3}-\dfrac{3\cdot(-1)^5}{5}\right)$

Calcule as potências

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}-1+\dfrac{-2}{3}-\dfrac{-3}{5}\right)$

Efetue a propriedade de sinais

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}$

Some os termos semelhantes e cancele os opostos

$2+2\cdot\dfrac{2}{3}-2\cdot\dfrac{3}{5}\\\\\\ 2+\dfrac{4}{3}-\dfrac{6}{5}$

Somando as frações, temos

$\dfrac{32}{15}$

Esta é a área delimitada pelas parábolas.