Question

Calcule a integral dupla \int\limits^3_1 \int\limits^2_1 (2x^{2}-3y) dxdy

Na segunda integral o 1 é negativo, nao consegui colocar

Answer 1

Resposta:

valor da integral dupla: $I = -24$

Explicação passo-a-passo:

$I =\int\limits^3_1 \int\limits^2_{-1} ({2x^2-3y}) \, \text{d}x\, \text{d}y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq(1)}$,

$I =\int\limits^3_1 \left[ \int\limits^2_{-1} ({2x^2-3y}) \, \text{d}x\right]\, \text{d}y$,

$I =\int\limits^3_1 \left[ \int\limits^2_{-1} (2x^2)\text{d}x + \int\limits^2_{-1}(-3y) \, \text{d}x\right]\, \text{d}y$,

Observe que o fator (-3y) pode sair da integral pois a integral é na variável x.

$I =\int\limits^3_1 \left[ \int\limits^2_{-1} 2x^2\,\text{d}x -3y \int\limits^2_{-1} \, \text{d}x\right]\, \text{d}y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq(2)}$,

agora observe que que:

$\int\limits^2_{-1} 2x^2\, \text{d}x = \frac{2}{3}x^3\Biggr|_{-1}^2 = \frac{2}{3} \cdot [2^3-(-1)^3] = \frac{2}{3} \cdot(8+1) = 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \text{resultado(1)}$,

por outro lado, temos:

$\int\limits^2_{-1} {x} \, \text{d}x = x\Biggr|_{-1}^2 = 2-(-1) = 2+1 = 3 \ \ \ \ \ \ \ \text{resultado(2)}$,

substituindo os resultados 1 e 2 na Eq(2), teremos o seguinte:

$I =\int\limits^3_1 \left[ 6 -3y \cdot3\right]\, \text{d}y$, ou

$I =\int\limits^3_1 \left( 6 -9y\right)\, \text{d}y = \int\limits^3_1 6 \, \text{d}y \ +\ \int\limits^3_1 {(-9y)} \, \text{d}y = 6\int\limits^3_1 \, \text{d}y \ -9 \int\limits^3_1 {y} \, \text{d}y \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Eq(3)}$,

agora observe que;

$6\int\limits^3_1 \, \text{d}y = 6y\Biggr|_1^3 = 6\cdot(3-1) = 12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{resultado(3)}$,

$-9 \int\limits^3_1 {y} \, \text{d}y = -9\cdot \frac{1}{2}y^2\Biggr|_1^3 = -9\frac{1}{2}(3^2-1^2) = -9\cdot\frac{1}{2}\cdot8 = -36 \ \ \ \ \text{resultado(4)}$,

substituindo os resultados 3 e 4 na Eq(3), temos, finalmente o valor da integral:

$I = 12-36 = -24$.

$I = -24$.

Answer 2

Temos a seguinte integral.

$\fbox {\displaystyle \int\limits^3_1 \int\limits^2_{-1} (2x^{2}-3y) dxdy }$

em integral dupla/tripla, começamos integrando de dentro para fora, de acordo com  a variável indicada.

então vamos calcular a primeira integral.

$\fbox {\displaystyle \int\limits^2_{-1} (2x^{2}-3y) dx }$

resolvendo

$\fbox {\displaystyle \int\limits^2_{-1} (2x^{2}-3y) dx = [\frac{2.x^3}{3} -3.y.x]\limits^2_{-1} }$

substituindo os limites de integração, ficando :

$\fbox {\displaystyle [\frac{2.x^3}{3} -3.y.x]\limits^2_{-1} \to [\frac{2.(2)^3}{3} - 3.y.2] - [\frac{2.(-1)}{3} - 3.y.(-1)] }$

$\fbox {\displaystyle [\frac{2.(2)^3}{3} - 3.y.2] - [\frac{2.(-1)}{3} - 3.y.(-1)] \to \frac{16}{3} - 6y - [-\frac{2}{3} + 3.y ] }$

$\fbox {\displaystyle1)] \to \frac{16}{3} - 6y - [-\frac{2}{3} + 3.y ] \to \frac{16}{3}+\frac{2}{3} -6.y - 3y \to \frac{18}{3} -9y }$

$\fbox {\displaystyle1)] \frac{18}{3} -9y \to 6 - 9y }$

agora vamos voltar na integral dupla e substituir esse valor, ficando :

$\fbox {\displaystyle \int\limits^3_1 ( 6 - 9y) dy }$

integrando :

$\fbox{\display \int\limits^3_1 {(6-9y)} \, dy = [6y -\frac{9y^2}{2}]\limits^3_1 }$

substituindo os limites de integração

$\fbox{\displaystyle 6y - \frac{9y^2}{2}|\limits^3_1 = (6.3 - \frac{9.3^2}{2}) - (6.1 -\frac{9.1^2}{2}) }$

$\fbox{\displaystyle (6.3 - \frac{9.3^2}{2}) - (6.1 -\frac{9.1^2}{2}) \to 18 - \frac{81}{2} - (6 - \frac{9}{2}) \to 18 - 6 - \frac{81}{2} + \frac{9}{2} }$

$\fbox{\displaystyle 18 - 6 - \frac{81}{2} + \frac{9}{2} \to 12 - 36 = -24 }$

portanto :

$\fbox {\displaystyle \int\limits^3_1 \int\limits^2_{-1} (2x^{2}-3y) dxdy = -24 }$