Question

Calcule a integral dupla de 1/Raiz[ 1 + x^2+ y^] dA, Onde R é o setor do primeiro quadrante limitado por y = 0, y = x e x^2+y^2 = 4

Answer 1

Vamos converter essa integral dupla em coordenadas polares.

$\int\limits \frac{1}{1+x^2+y^2} \, dA = \int\limits \frac{1}{1+r^2} \, rdrd \beta$

Pois, x²+y² = r²

Olhando na circunferência do domínio, veremos que seu raio vale 2

Sendo assim, precisaremos achar o maior angulo beta em seu domínio.

o maior angulo dessa integral, será a tangente da reta "y = x"

Como o angulo dessa reta vale 45°,

Nosso limite de integração serão esses:

$\\ 0 \leq r \leq 2 \\ e \\ 0 \leq \beta \leq \frac{ \pi }{4}$

Sendo assim, nossa integral será:

$\int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^2_0 { \frac{1}{1+r^2} } \,rdrd \beta$

Façamos uma substituição simples:


$\\ u = 1+r^2 \\ \\ du =2rdr \\ \\ \frac{du}{2} =rdr$

Nossa integral fica:

$\\ \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^2_0 { \frac{1}{u} } \, \frac{du}{2} d \beta \\ \\ \frac{1}{2} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^2_0 { \frac{1}{u} } \, du d \beta \\ \\ \frac{1}{2} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, ln|u| (0,2)d \beta$

Substituindo "u por " 1+r²

$A= \\ \frac{1}{2} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 ln|1+r^2|(0,2)d \beta \\ \\ \frac{1}{2} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 ln|1+2^2|-ln|1|d \beta \\ \\ \frac{1}{2}\int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 ln5d \beta \\ \\ \frac{1}{2}[ln5 \beta ](0, \frac{ \pi }{4} ) \\ \\ \frac{1}{2}[ \frac{ \pi }{ 4} ln5-0] \\ \\ \frac{ \pi ln5}{8}$