Question

Calcule a integral dupla dada por , sabendo que R é uma região triangular compreendida pelas retas

Answer 1

Resposta:

28/3

Explicação passo a passo:

Achei a resposta nesse vídeo:

https://youtu.be/q3kITMJXnCY

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Answer 2

O resultado da integral dupla dada por $\int \int_{R}(x+y) dA$, em que R representa uma região triangular compreendida pelas retas y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3  é $\frac{28}{3}$.

Integrais duplas

Representando em um gráfico essas funções e analisando a região triangular que é gerada pelas interseções das retas entre si, podemos perceber que:

• No eixo y, ela vai de 1 até 3;
• No eixo x, ela vai da reta y = -x + 1 até a reta y = x + 1.

Pelo Teorema de Fubini:

$\int \int_{R}(x+y) dA(*)$

$= \int^3_1 (\int (x + y) dx) dy$

Determinando os limites de integração da integral mais interna:

• y = -x + 1 ⇒ x = -y + 1;
• y = x + 1 ⇒ x = y - 1.

Daí, segue que:

$(*) = \int\limits^3_1 {\frac{x^2}{2}+xy|^{y-1}_{-y+1} } \, dy$

$(*) = \int\limits^3_1 {\frac{1}{2}[(y-1)^2-(-y+1)^2]+y[(y-1)-(-y+1)]dy$

$(*) = \int\limits^3_1 {\frac{1}{2}[y^2-2y+1-(y^2-2y+1)]+y[y-1+y-1]dy$

$(*) = \int\limits^3_1 {\frac{1}{2}[y^2-2y+1-y^2+2y-1]+y[2y-2]dy$

$(*) = \int\limits^3_1 2y^2-2y\, dy$

$(*) = \frac{2y^3}{3} -\frac{2y^2}{2} |^3_1$

$(*) = \frac{2}{3} y^3 -y^2|_3^1$

$(*) = \frac{2}{3} y^3 -y^2|_3^1$

$(*) = \frac{2}{3}[(3)^3-(1)^3]-[(3)^2-(1)^2]]$

$(*) = \frac{2}{3}[27-1]-[9-1]$

$(*) = \frac{52}{3} -8$

$(*) = \frac{52-24}{3}$

$(*) = \frac{28}{3}$

Portanto, o resultado da integral dupla dada por $\int \int_{R}(x+y) dA$, em que R representa uma região triangular compreendida pelas retas y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3  é $\frac{28}{3}$.

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