Question

Calcule a integral dupla abaixo utilizando seus limites...

Answer 1

Vamos encontrar o ponto de intersecção das curvas:

$\sf{y=x-1~~~y^2=2x+6}\\\sf{(x-1)^2=2x+6}\\\sf{x^2-2x+1=2x+6}\\\sf{x^2-2x-2x+1-6=0}\\\sf{x^2-4x-5=0}\\\sf{\Delta=16+20=36}\\\sf{x=\dfrac{4\pm6}{2}}\begin{cases}\sf{x_1=5}\\\sf{x_2=-1}\end{cases}$

$\sf{y=x-1}\\\sf{y=5-1=4}\\\sf{y=-1-1=-2}$

Os pontos de Intersecção são A(-1,-2) B(5,4)

Vamos escrever a integral dupla como região do tipo 1

$\boxed{\begin{array}{c}\sf{-1\leq x\leq5}\\\sf{x-1\leq y\leq\sqrt{2x+6}}\end{array}}$

$\displaystyle\sf{\int_{-1}^{5}\int_{x-1}^{\sqrt{2x+6}}xy~dy~dx}$

$\displaystyle\sf{\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{5}xy^2\Bigg|_{x-1}^{\sqrt{2x+6}}~dx}$

$\displaystyle\sf{\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{5}x\cdot\left((\sqrt{2x+6})^2-(x-1)^2\right)~dx}\\\displaystyle\sf{\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{5}x\cdot\left(2x+6-(x^2-2x+1)\right)~dx}$

$\displaystyle\sf{\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{5}x\cdot(2x+6-x^2+2x-1)~dx}\\\displaystyle\sf{\int_{-1}^{5}x\cdot(-x^2+4x+5)~dx=\dfrac{1}{2}\int_{-1}^{5}-x^3+4x^2+5x~dx}$

$\sf{\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{4}{3}x^3+\dfrac{5}{2}x^2\right)\Bigg|_{-1}^{5}}$

Substituindo os limites de integração temos:

$\sf{\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\cdot5^4+\dfrac{4}{3}\cdot5^3+\dfrac{5}{2}5^2-\left[-\dfrac{1}{4}\cdot(-1)^4+\dfrac{4}{3}\cdot(-1)^3+\dfrac{5}{2}\cdot(-1)^2\right]\right)}\\\sf{\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{625}{4}+\dfrac{500}{3}+\dfrac{125}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{2}\right)}$

$\sf{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{-1875+2000+750+3+16-30}{12}\right)}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{864}{12}=\dfrac{864}{24}=36~u\cdot a}}}}}$

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{36}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral dupla, faremos uma inversão da ordem de integração das variáveis por causa da concavidade da parábola.

Seja integral dupla $\displaystyle{\int\int_D xy\,dA}$ para a região $D$ limitada pela reta $y=x-1$ e $y^2=2x+6$.

A parábola tem concavidade voltada para a direita, visto que tem a forma $(y-y_v)^2=2p\cdot(x-x_v)$.

Observe que para definirmos os limites de integração, devemos encontrar as intersecções entre as funções. Veja o gráfico:

Fazemos:

$\begin{cases}y=x-1\\y^2=2x+6\\\end{cases}$

Isole $x$, tal que

$\begin{cases}x=y+1\\2x=y^2-6\\\end{cases}$

Substituindo a primeira equação na segunda, temos

$2\cdot(y+1)=y^2-6$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$2y+2=y^2-6$

Isole $y$, tal que

$y^2-2y-8=0$

Aplicando a fórmula resolutiva, temos:

$y=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-8)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os termos

$y=\dfrac{2\pm\sqrt{4+32}}{2}\\\\\\ y=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}$

Calculando a raiz e separando as soluções, temos

$y=\dfrac{2\pm6}{2}\\\\\\ y_1=\dfrac{2-6}{2}~~~~~~y_2=\dfrac{2+6}{2}$

Some e simplifique as frações

$y_1=\dfrac{-4}{2}~~~~~~y_2=\dfrac{8}{2}\\\\\\ y_1=-2~~~~~~y_2=4$

Então, inverteremos a ordem de integração. Veja na imagem que ao fazermos isso, o comportamento da função muda.

Nossos novos intervalos de integração serão:

$\dfrac{y^2-6}{2}\leq x\leq y+1\\\\~~~~-2\leq y\leq 4$

Substituindo $dA=dxdy$, temos a integral

$\displaystyle{\int_{-2}^4\int_{\frac{y^2-6}{2}}^{y+1}~xy\,dx\,dy}$

Para integramos o produto, considere $y$ como uma constante, visto que a primeira integral diz respeito a x. Sabendo que $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$, temos

$\displaystyle{\int_{-2}^4y\cdot\int_{\frac{y^2-6}{2}}^{y+1}~x\,dx\,dy}$

Integre a potência, lembrando que $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$:

$\displaystyle{\int_{-2}^4y\cdot\dfrac{x^2}{2}~\biggr|_{\frac{y^2-6}{2}}^{y+1}\,dy}$

Aplique os limites de integração, lembrando que $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a primitiva de $f(x)$ e $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

$\displaystyle{\int_{-2}^4y\cdot\left(\dfrac{(y+1)^2}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{y^2-6}{2}\right)^2}{2}\right)\,dy}$

Expanda os binômios e simplifique as frações

$\displaystyle{\int_{-2}^4y\cdot\left(\dfrac{y^2+2y+1}{2}-\dfrac{y^4-12y^2+36}{8}\right)\,dy}$

Efetue a propriedade distributiva

$\displaystyle{\int_{-2}^4\dfrac{y^3+2y^2+y}{2}-\dfrac{y^5-12y^3+36y}{8}\right)\,dy}$

Separe a integral da soma como a soma das integrais:

$\displaystyle{\int_{-2}^4\dfrac{y^3+2y^2+y}{2}\,dy-\int_{-2}^4\dfrac{y^5-12y^3+36y}{8}\right)\,dy}$

Aplicando a regra da constante e integrando a função polinomial, temos

$\displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\int_{-2}^4y^3+2y^2+y\,dy-\dfrac{1}{8}\cdot\int_{-2}^4y^5-12y^3+36y\,dy}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{y^4}{4}+2\cdot\dfrac{y^3}{3}+\dfrac{y^2}{2}\right)~\biggr|_{-2}^4-\dfrac{1}{8}\cdot\left(\dfrac{y^6}{6}-3\cdot y^4+18y^2\right)~\biggr|_{-2}^4}$

Aplique os limites de integração na primeira primitiva

$\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{4^4}{4}+2\cdot\dfrac{4^3}{3}+\dfrac{4^2}{2}-\left(\dfrac{(-2)^4}{4}+2\cdot\dfrac{(-2)^3}{3}+\dfrac{(-2)^2}{2}\right)\right)$

Calcule as potências e multiplicações

$\dfrac{1}{2}\cdot\left(64+\dfrac{128}{3}+8-\left(4-\dfrac{16}{3}+2\right)\right)$

Somando os valores, temos

$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{64\cdot3+128+8\cdot3-4\cdot3+16-2\cdot3}{3}\\\\\\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{192+128+24-12+16-6}{3}\\\\\\ \dfrac{342}{6}\\\\\\57$

Aplique os limites de integração na segunda primitiva

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\left(\dfrac{4^6}{6}-3\cdot4^4+18\cdot 4^2-\left(\dfrac{(-2)^6}{6}-3\cdot(-2)^4+18\cdot(-2)^2\right)\right)$

Calcule as potências e multiplicações

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\left(\dfrac{4096}{6}-768+288-\left(\dfrac{64}{6}-48+72\right)\right)}$

Some os valores

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4096-768\cdot 6+288\cdot6-64+48\cdot6-72\cdot6}{6}}\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4096-4608+1728-64+288-432}{6}}\\\\\\ \dfrac{1008}{48}\\\\\\ 21$

Devolvendo estes valores para a nossa subtração inicial, temos enfim que

$57-21=36~~\checkmark$

Esta é área da região limitada por estas curvas.