Question

Calcule a integral definidas abaixo:

∫²₀ ( x‐⁴ + x⁵+7x /5+ x) dx.
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Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{328}{15}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Desejamos calcular a seguinte integral definida:

$\displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx}$

Para isso, devemos relembrar algumas propriedades básicas

1) A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais dessas funções

$\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx}$

2) A integral definida de uma função resulta em sua função primitiva no limite superior menos o limite inferior

$\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$

3) A integral de uma potência é dada por:

$\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~C\in\mathbb{R}}$

Mas como se trata de uma integral definida, não precisaremos utilizar a constante de integração $C$.

4) A integral de um produto entre uma constante qualquer $a$ e uma função $f(x)$ é dada por:

$\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$

Vamos para a prática

Aplique a primeira propriedade

$\displaystyle{\int_0^2 x^4\,dx + \int_0^2x^5\,dx+\int_0^2\dfrac{7x}{5}\,dx+\int_0^2x\,dx}$

Calculemos cada integral separadamente

$\displaystyle{\int_0^2x^4\,dx}$

Aplique a 3ª propriedade

$\displaystyle{\int_0^2x^4\,dx=\dfrac{x^{4+1}}{4+1}\biggr|_0^2=\dfrac{x^5}{5}\biggr|_0^2$

Aplique a 2ª propriedade

$\displaystyle{\int_0^2x^4\,dx = \dfrac{2^5}{5}-\dfrac{0^5}{5}$

Calcule as potências e some os valores

$\displaystyle{\int_0^2x^4\,dx =\dfrac{32}{5}$

Passemos para a próxima integral

$\displaystyle{\int_0^2x^5\,dx}$

Resolveremos esta da mesma forma que a anterior

$\displaystyle{\int_0^2x^5\,dx=\dfrac{x^{5+1}}{5+1}\biggr|_0^2=\dfrac{x^6}{6}\biggr|_0^2 = \dfrac{2^6}{6}-\dfrac{0^6}{6} = \dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{3}$

Passemos para a próxima integral

$\displaystyle{\int_0^2\dfrac{7x}{5}\,dx}$

Aplique a 4ª propriedade

$\displaystyle{\int_0^2\dfrac{7x}{5}\,dx=\int_0^2\dfrac{7}{5}\cdot x\,dx =\dfrac{7}{5}\cdot\int_0^2 x\,dx}$

Resolvamos esta integral assim como as anteriores

$\displaystyle{\dfrac{7}{5}\cdot\int_0^2 x\,dx =\dfrac{7}{5}\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}\biggr|_0^2 = \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{x^2}{2}\biggr|_0^2=\dfrac{7}{5}\cdot\left(\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)=\dfrac{7}{5}\cdot2=\dfrac{14}{5}}$

Por fim, resolvamos a última integral

$\displaystyle{\int_0^2 x\,dx}$

Esta integral acaba de ser resolvida no último passo, mas lembre-se de que desta vez, ela não está sendo multiplicada por uma constante

$\displaystyle{\int_0^2 x\,dx=\dfrac{x^{1+1}}{1+1}\biggr|_0^2=\dfrac{x^2}{2}\biggr|_0^2=\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}=2$

Então, substitua todos os valores na integral inicial

$\displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx} = \displaystyle{\int_0^2 x^4\,dx + \int_0^2x^5\,dx+\int_0^2\dfrac{7x}{5}\,dx+\int_0^2x\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx} = \dfrac{32}{5}+\dfrac{32}{3}+\dfrac{14}{5}+2$

Some as frações

$\displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx} = \dfrac{32\cdot 3+32\cdot 5+14\cdot 3 + 2\cdot 15}{15}}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx}=\dfrac{96+160+42+30}{15}}$

Some os valores

$\displaystyle{\int_0^2 x^{4}+x^5+\dfrac{7x}{5}+x\,dx} = \dfrac{328}{15}$

Este é o resultado da integral.