Question

Calcule a integral definidada função no intervalo de x entre 0 e 1 e intervalo de y entre-2 e 0 (x-y)dydx

Answer 1

Integrar a função

$f(x,\;y)=x-y$

sobre a região de integração $R=[0,\;1]\times [0,\;2]$


Como a região de integração é um retângulo, os extremos de integração são constantes. Sendo assim, neste caso, a ordem de integração é irrelevante.


Escrevendo a integral iterada:

$\displaystyle\iint\limits_{R}{(x-y)\,dy\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{-2}^{0}{(x-y)\,dy\,dx}$

A primeira integral é em relação a $y,$ então consideramos tudo que envolve $x$ como constante:

$=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{\left.\left(xy-\dfrac{y^{2}}{2}\right)\right|_{-2}^{0}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{-\left(x\cdot (-2)-\dfrac{(-2)^{2}}{2} \right )\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{(2x+2)\,dx}\\ \\ \\ =\left(x^{2}+2x \right )|_{0}^{1}\\ \\ =\left(1^{2}+2\cdot 1 \right )\\ \\ =1+2\\ \\ =3$