Question

Calcule a integral definida da função f(x)= x.e^x Utilizando a regra da integração por partes variado de x = 0 a x = 2.

Answer 1

$\int\limits_{0}^{2}(x .e{}^{x}dx)$

$\int (x.e {}^{x})dx \\ \\ u = x \to du = 1dx \\ dv = e { }^{x} \to v = e {}^{x} \: \:$

$\int u.dv = u.v - \int v.du \\ \\ \int x.e {}^{x} = x.e {}^{x} - \int e {}^{x} .1dx \\ \\ \int x.e {}^{x} = x.e {}^{x} - \int e {}^{x} dx \: \: \\ \\ \int x.e {}^{x} = x.e {}^{x} - e {}^{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$x.e {}^{x} \bigg |_{0}^{2} = 2.e {}^{2} - e {}^{2} - 0.e {}^{0} + e {}^{0} \\ \\ \boxed{ \boxed{ x.e {}^{x} \bigg |_{0}^{2} = e {}^{2} + 1}}$