Question

calcule a integral definida :
d(\int_{1}^{x} e^{-t^2} dt)/dx​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle{\int_1^x e^{-t^2}\,dt}\right)=e^{-x^2}~~\checkmark}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Queremos calcular a derivada de uma integral definida:

$\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle{\int_1^x e^{-t^2}\,dt}\right)$

Para isso, utilizaremos o Teorema fundamental do cálculo. Sabemos que a integral também pode ser chamada de antiderivada, visto que $\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle{\int f(x)\,dx\right)}=f(x)$.

Porém, como se trata de uma integral definida, lembre-se que, dados os limites de integração, teremos: $\displaystyle{\int _a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b =F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a primitiva da função $f(x)$ e, ainda de acordo com o que foi dito anteriormente, $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$.

Veja que calcular esta integral seria excepcionalmente trabalhoso, pois ela é conhecida como Integral gaussiana, tal que seu resultado não pode ser calculado utilizando funções elementares. Então, Gauss nos introduziu a função erro.

Então, consideremos $f(t)=e^{-t^2}$ e apliquemos o Teorema fundamental do cálculo:

$\displaystyle{\int_1^x f(t)\,dt=F(t)~\biggr|_1^x=F(x)-F(1)$

Tal que $F(t)$ é a primitiva da função $f(t)$. Observe que $F(1)$ será uma constante, logo lembre-se das propriedades de derivadas:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Logo, teremos

$\dfrac{d}{dx}(F(x)-F(1))$

Aplique a regra da soma

$\dfrac{d}{dx}(F(x))-\dfrac{d}{dx}(F(1))$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{d}{dx}(F(x))$

Como dito anteriormente, $\dfrac{d}{dx}(F(x))=f(x)$, logo

$e^{-x^2}$

Este é o resultado que procurávamos.