Matemática, perguntado por danielamartins4, 1 ano atrás

Calcule a integral definida abaixo:

 \int\limits^6_3 \frac{x}{1+ x^{4} }

Soluções para a tarefa

Respondido por Niiya
2
\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+(x^{2})^{2}}dx

Vamos substituir x² por u:

u=x^{2}~~~\therefore~~~du=2xdx~~\therefore~~~xdx=(\frac{1}{2})du

Achando os limites de integração em u:

x=3~~\rightarrow~~u=3^{2}=9\\x=6~~\rightarrow~~u=6^{2}=36

Então:

\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\int\limits_{3}^{6}\dfrac{1}{1+(x^{2})^{2}}xdx\\\\\\\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\int\limits_{9}^{36}\dfrac{(\frac{1}{2})}{1+u^{2}}du\\\\\\\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{9}^{36}\dfrac{1}{1+u^{2}}du

Sabemos que \dfrac{d}{du}arctg(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}

Então:

\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\dfrac{1}{2}\int\limits_{9}^{36}\left(\dfrac{d}{du}arctg(u)\right)du

Sabemos que \displaystyle\int\limits_{b}^{a}\left(\dfrac{d}{dx}f(x)\right)dx=f(a)-f(b)

Logo:

\displaystyle\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\dfrac{1}{2}[arctg(u)]_{9}^{36}\\\\\\\boxed{\boxed{\int\limits_{3}^{6}\dfrac{x}{1+x^{4}}dx=\dfrac{1}{2}\cdot(arctg(36)-arctg(9))}}

Niiya: Acho que não tem outra maneira, não dá por substituição
danielamartins4: acho q se botar essa resposta no trabalho ela vai estranhar , pq ela nem passou essa formula , foi mais aquela a derivada f(x)dx = f(b)-f(a)
danielamartins4: integral *
danielamartins4: ao inves de derivada
Niiya: Acho que encontrei outro método, vou editar
Niiya: Dava pra resolver por substituição sim!
Niiya: Veja que a resposta se enquadra no que ela deu
danielamartins4: também não, mais muito obrigado pelo ajuda :)
Niiya: Mas substituição é o método mais básico... O que ela deu?
danielamartins4: bom diaa Niiya , poderia me ajuda com outras integrais que postei , por favor :) , obrigado!
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