Question

Calcule a integral definida abaixo:

$\int\limits^0_ {-2} \, (2x + 5)dx$


gabarito:
resposta é 6

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos calcular a seguinte integral:

$\displaystyle{\int_{-2}^02x+5\,dx}$.

Para resolvê-la, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int2x\,dx+\int5\,dx~\biggr|_{-2}^0}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{2\cdot\int x\,dx+5\cdot\int 1\,dx~\biggr|_{-2}^0}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $x=x^1$ e $1=x^0$

$2\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}+5\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-2}^0$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$2\cdot\dfrac{x^2}{2}+5\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_{-2}^0\\\\\\ x^2+5x~\biggr|_{-2}^0$

Aplique os limites de integração

$0^2+5\cdot 0-((-2)^2+5\cdot(-2))$

Calcule as potências, multiplique e some os termos

$0+0-(4-10)\\\\\\-(-6)\\\\\\6~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral definida.