Question

Calcule a integral definida a seguir:

∫0 ate π/2 ³√sinx . cos .x .dx

Escolha uma:
a. 0
b. 34
c. 1
d. π2
e. 13

Answer 1

Resolução da questão, veja:

Resolver a integral definida:

$\mathsf{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~\sqrt[3]{sin(x)} cos(x)~dx}}}$

Para essa integral vamos fazer uma breve substituição:

u = sin(x) => du = cos(x) dx

Apliquemos a substituição de u nos limites de integração:

$\mathsf{\displaystyle\int_{sin(0)}^{sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}}~\sqrt[3]{sin(x)}cos(x)~ dx}}}\\ \\ \\ \mathsf{\displaystyle\int_{0}^{1}~\sqrt[3]{sin(x)} cos(x)~dx}}$

Pronto, vamos integrar agora nos novos limites encontrados:

Ainda utilizando a substituição udu do início, temos:

$\mathsf{\displaystyle\int~\sqrt[3]{u}~du}}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{3u^{\frac{4}{3}}}{4}}$

Aplicando os limites de integração no Teorema Fundamental do Cálculo temos:

$\mathsf{\dfrac{3u^{\frac{4}{3}}}{4}}\Bigg|_{0}^{1}}\\ \\ \\ \mathsf{\dfrac{3}{4}-\dfrac{0}{4}}\\ \\ \\ \Large\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{3}{4}}}}}~~\checkmark}}$

Ou seja, a alternativa correta é a "B".

Espero que te ajude :-)