Question

Calcule a integral definida:

Answer 1

$I=\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}{(2x^{2}-1)^{3}\,x\,dx}\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{4}\,\displaystyle\int\limits_{-1}^{0}{4\cdot (2x^{2}-1)^{3}\,x\,dx}\\ \\ \\ I=\dfrac{1}{4}\,\int\limits_{-1}^{0}{(2x^{2}-1)^{3}\cdot 4x\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Substituição:

$2x^{2}-1=u\;\;\Rightarrow\;\;4x\,dx=du$


Mudando os extremos de integração:

$\text{Quando }x=-1\;\;\Rightarrow\;\;u=1\\ \\ \text{Quando }x=0\;\;\Rightarrow\;\;u=-1$


Fazendo a substituição em $\mathbf{(i)},$ temos

$I=\dfrac{1}{4}\,\displaystyle\int\limits_{1}^{-1}{u^{3}\,du}\\ \\ \\ =-\dfrac{1}{4}\,\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}{u^{3}\,du}$


Ora, temos uma função ímpar $g(u)=u^{3},$ integrada sobre um intervalo simétrico em $u.$ Portanto, podemos concluir direto que

$I=-\dfrac{1}{4}\,\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}{u^{3}\,du}=0$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor numérico da referida integral definida em foco é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int_{-1}^{0} (2x^{2} - 1)^{3}x\,dx = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Se estamos querendo resolver a seguinte integral:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_{-1}^{0} (2x^{2} - 1)^{3}x\,dx = \,?\end{gathered}$

Para resolver esta integral definida temos que implementar o método de integração por substituição. Para isso, devemos:

• Nomear a função que está dentro dos parênteses.

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u = 2x^{2} - 1\end{gathered}$

• Derivar "u" em termos de "x".

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = 2\cdot2\cdot x^{2 - 1} - 0 = 4x\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \Longrightarrow \frac{du}{dx} = 4x\Longrightarrow du = 4x\,dx\end{gathered}$

• Isolar "x dx".

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{4} = x\,dx\end{gathered}$

• Substituir, desenvolver e simplificar os cálculos.

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_{-1}^{0} u^{3}\cdot\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\cdot\int_{-1}^{0} u^{3}\,du\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{4}\cdot \int_{-1}^{0} (2x^{2} - 1)^{3}\,du\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{1}{4}\cdot\frac{(2x^{2} - 1)^{3 + 1}}{3 + 1} + c\right]\bigg|_{-1}^{0}\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{1}{4}\cdot\frac{(2x^{2} - 1)^{4}}{4} + c\right]\bigg|_{-1}^{0}\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{(2x^{2} - 1)^{4}}{16} + c\right]\bigg|_{-1}^{0}\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{(2\cdot0^{2} - 1)^{4}}{16} + c\right] - \left[\frac{(2\cdot(-1)^{2} - 1)^{4}}{16} + c\right]\end{gathered} }$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{1}{16} + c\right] - \left[\frac{1}{16} + c\right]\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{16} + c - \frac{1}{16} - c\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 0 - 0\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 0\end{gathered}$

                                 

✅ Portanto, a integral definida procurada é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int_{-1}^{0} (2x^{2} - 1)^{3}x\,dx = 0\end{gathered}$

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Solução gráfica (figura):