Question

Calcule a integral definida:

Answer 1

$I=\displaystyle\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{2x^{3}-4x^{2}+5x}{x^{2}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{\diagup\!\!\!\!\! x^{2}\cdot \left(2x-4+\frac{5}{x}\right)}{\diagup\!\!\!\!\! x^{2}}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{1}^{3}{\left(2x-4+\dfrac{5}{x}\right)\,dx}\\ \\ \\ =\left(x^{2}-4x+5\,\mathrm{\ell n}|x| \right )|_{1}^{3}$

Como no intervalo de integração $x$ é sempre positivo, então podemos dispensar o módulo no logaritmo:

$=\left(x^{2}-4x+5\,\mathrm{\ell n\,}x \right )|_{1}^{3}\\ \\ \\ =\left(3^{2}-4\cdot 3+5\,\mathrm{\ell n\,}3 \right )-\left(1^{2}-4\cdot 1+5\,\mathrm{\ell n\,}1 \right )\\ \\ \\ =\left(9-12+5\,\mathrm{\ell n\,}3 \right )-\left(1-4+5\cdot 0 \right )\\ \\ \\ =9-12+5\,\mathrm{\ell n\,}3-1+4\\ \\ =9-12-1+4+5\,\mathrm{\ell n\,}3\\ \\ =5\,\mathrm{\ell n\,}3$