Question

calcule a integral definida

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\sf\int_{0}^{1}(x {}^{3} + 2x^{2} + 1)dx$

Primeiro devemos integrar essa função e depois substituir os limites da integral. Vamos lembrar que a integral da soma ou subtração de várias funções é igual a soma ou subtração de cada uma das integrais das funções envolvidas.

$\boxed{\sf \int [f(x) + g(x) ]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx}$

Aplicando essa propriedade:

$\sf \int_{0}^{1}x {}^{3} dx + \int_{0}^{1}2x {}^{2} dx + \int_{0}^{1}1dx$

Vamos resolver todos os valores constantes de dentro da integral, pois como sabemos as constantes possuem a capacidade de transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{\sf \int k.f(x)dx =k \int f(x)dx}$

Aplicando esta outra propriedade:

$\sf \int_{0}^{1}x {}^{3} dx + 2 \int_{0}^{1}xdx + \int_{0}^{1}1dx$

Por fim para finalizar a integração, basta aplicar mais uma propriedade que é a de potência das integrais:

$\boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Não vamos usar a constante nesse cálculo pelo motivo de que trata-se de uma integral definida.

$\sf \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + 2. \frac{x {}^{2 + 1} }{ 2 + 1} + 1. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{2x {}^{3} }{3} + x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{x {}^{4} }{4} + \frac{2x {}^{3} }{3} + x \begin{array}{c|c} & \sf1\\ \\& \sf0 \end{array} \: \: \ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar a questão, vamos lembrar que o Teorema fundamental do cálculo diz que:

$\sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \ast \sf F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c} & \sf b\\ \\& \sf a \end{array} \: \: \: \:$

Aplicando:

$\sf \frac{ {1}^{4} }{4} + \frac{2.1 {}^{3} }{3} + 1- ( \sf \frac{ {0}^{4} }{4} + \frac{2.0 {}^{3} }{3} + 0) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 \longleftrightarrow \frac{3 + 8}{12} + 1 \longleftrightarrow \frac{11}{12} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{11 + 12}{12} = \sf \boxed{ \boxed{ \sf \frac{23}{12}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado

Espero ter ajudado

Answer 2

Olá, bom dia ☺

Resolução:

$\[ \int (x^3 + 2x^2 + 1) } \,dx \] \\ \\ \\ \left[ \dfrac{x^4}{4} +\dfrac{2x^3}{3} +1 \right]^1_{0} \\ \\ \\ \left[ \dfrac{1^4}{4} + \dfrac{2\cdot(1)^3}{3}+1 \right] \\ \\ \\ \left[ \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}+1 \right] \\ \\ \\ = \dfrac{23}{12}$

Bons estudos :)