Question

calcule a integral de linha yzdx + xzdy + xydz, onde C e dada por x = cos(2t), y = sin(2t), z = t,
0 <= t<=2pi.

Answer 1

Calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre a curva C, parametrizada da seguinte forma

$C(t)=(\cos 2t,\,\mathrm{sen\,}2t,\,t)~~~~~~~~~0\le t\le 2\pi.$

_________

Campo vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y,\,z)=P\overrightarrow{\mathbf{i}}+Q\overrightarrow{\mathbf{j}}+R\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y,\,z)=yz\overrightarrow{\mathbf{i}}+xz\overrightarrow{\mathbf{j}}+xy\overrightarrow{\mathbf{k}}$


sendo $P,\,Q,\,R$ as funções componentes do campo (funções das três variáveis $x,\,y,\,z$)

____________

Calculando o rotacional do campo vetorial:

$\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla \times \overrightarrow{\mathbf{F}}\\\\\\ =\left| \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ P&Q&R \end{array} \right|\\\\\\\\ =\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z} \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x} \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{k}}$


$=\left(\dfrac{\partial }{\partial y}(xy)-\dfrac{\partial}{\partial z}(xz) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial z}(yz)-\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(xz)-\dfrac{\partial}{\partial y}(yz) \right )\!\!\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\\\ =(x-x)\!\!\overrightarrow{\mathbf{i}}+(y-y)\!\!\overrightarrow{\mathbf{j}}+(z-z)\!\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\ =0\overrightarrow{\mathbf{i}}+0\overrightarrow{\mathbf{j}}+0\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathrm{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}=\overrightarrow{\mathbf{0}}\end{array}}$


O rotacional é nulo, e o campo está definido em todo o $\mathbb{R}^3$ (o domínio é simplesmente conexo). Portanto, $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é conservativo.

_________

Sendo o campo conservativo, este possui função potencial $f:~\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},$ tal que

$\nabla f=\overrightarrow{\mathbf{F}}$

em todos os pontos do domínio.


Escrevendo em coordenadas, devemos ter

$\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y},\,\dfrac{\partial f}{\partial z} \right )=(P,\,Q,\,R)\\\\\\ \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\,\dfrac{\partial f}{\partial y},\,\dfrac{\partial f}{\partial z} \right )=(yz,\,xz,\,xy)$


Agora, igualamos as coordenadas:

$\left\{ \begin{array}{lc} \dfrac{\partial f}{\partial x}=yz&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=xz&~~~~\mathbf{(ii)}\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}=xy&~~~~\mathbf{(iii)} \end{array} \right.$


Primitivando $\mathbf{(i)}$ em relação a $x,$ temos

$f(x,\,y,\,z)=xyz+g(y,\,z)~~~~\mathbf{(iv)}$

sendo $g(y,\,z)$ uma função que só depende de $y$ e $z,$ mas não de $x.$


Derivando $\mathbf{(iv)}$ em relação a $y,$ temos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\big(xyz+g(y,\,z) \big)\\\\\\ xz=xz+\dfrac{\partial g}{\partial y}\\\\\\ \dfrac{\partial g}{\partial y}=0\\\\\\ g(y,\,z)=h(z)$


sendo $h(z)$ uma função que só depende de $z,$ mas não depende de $x$ nem de $y.$


Substituindo em $\mathbf{(iv)},$ obtemos

$f(x,\,y,\,z)=xyz+h(z)~~~~\mathbf{(v)}$


Derivando $\mathbf{(v)}$ em relação a $z,$ temos

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\big(xyz+h(z) \big)\\\\\\ xy=xy+h'(z)\\\\ h'(z)=0\\\\ h(z)=k~~~~~~\text{sendo }k\text{ constante}\in\mathbb{R}.$


Então, encontramos uma família de funções potenciais para o campo $\overrightarrow{\mathbf{F}}:$
 
$\boxed{\begin{array}{c}f(x,\,y,\,z)=xyz+k \end{array}}~~~~~~\text{sendo }k\text{ constante}\in\mathbb{R}.$

_____________

Tomemos como função potencial aquela em particular em que a constante $k$ é zero:

$f(x,\,y,\,z)=xyz$


Como $\overrightarrow{\mathbf{F}}$ é conservativo, basta avaliarmos a função potencial nos pontos final e inicial da trajetória. A integral pedida é
 
$\displaystyle\int_C\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}=f\big(C(t)\big)\bigg|_{t=0}^{t=2\pi}\\\\\\ \int_C yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=f(\cos 2t,\,\mathrm{sen\,}2t,\,t)\bigg|_{t=0}^{t=2\pi}\\\\\\ =f(\cos 2\cdot 2\pi,\,\mathrm{sen\,}2\cdot 2\pi,\,2\pi)-f(\cos 2\cdot 0,\,\mathrm{sen\,}2\cdot 0,\,0)\\\\\\ =f(\cos 4\pi,\,\mathrm{sen\,}4\pi,\,2\pi)-f(\cos 0,\,\mathrm{sen\,}0,\,0)\\\\\\ =f(1,\,0,\,2\pi)-f(1,\,0,\,0)\\\\\\ =1\cdot 2\cdot 2\pi-1\cdot 0\cdot 0\\\\\\ =0-0\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int_C yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz=0 \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)