Question

calcule a integral de linha x^2ydx + (3y + x)dy, onde C e o retangulo em R2 com vertices (-1; 1), (2; 1),
(2; 3) e (-1; 3).

Answer 1

Deseja-se calcular a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva.

$\displaystyle\oint_C x^2 y\,dx+(3y+x)\,dy$

___________

•   Da integral acima, vemos que o campo vetorial em questão é

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=P(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+Q(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=x^2 y\overrightarrow{\mathbf{i}}+(3y+x)\overrightarrow{\mathbf{j}}$


sendo $P,\,Q$ as funções componentes do campo.



•    C é o retângulo em $\mathbb{R}^2$ com vértices nos pontos

(– 1, 1),  (2, 1),  (2,  3) e (– 1,  3).


Considerando que o retângulo é percorrido vértice a vértice, na ordem em que foram dados, vemos que C está orientada positivamente.


Ora C é um retângulo, uma curva fechada, regular por partes e positivamente orientada.

_________


Como as derivadas parciais de $P$ e $Q$ são contínuas no interior da curva, podemos usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha:

$\displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )dA~~~~~~\mathbf{(i)}$


sendo int(C) a região do plano compreendida no interior do retângulo dado.

__________

Calculando:

$\displaystyle\oint_C x^2 y\,dx+(3y+x)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}\left(\dfrac{\partial}{\partial x}(3y+x)-\dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y) \right )dA\\\\\\ =\iint_{\mathrm{int}(C)}(1-x^2)\,dA~~~~~~\mathbf{(ii)}$


•    Como a região de integração é retangular, os extremos de integração são constantes.

       x varia de – 1 a 2;
       y varia de 1 a 3.


Sendo assim, a integral $\mathbf{(ii)}$ fica

$=\displaystyle\int_{-1}^2\int_1^3(1-x^2)\,dy\,dx\\\\\\ =\int_{-1}^2(1-x^2)\cdot y\big|_1^3\,dx\\\\\\ =\int_{-1}^2(1-x^2)\cdot (3-1)\,dx\\\\\\ =\int_{-1}^2(1-x^2)\cdot 2\,dx\\\\\\ =2\int_{-1}^2(1-x^2)\,dx\\\\\\ =2\cdot \left(x-\frac{x^3}{3}\right)\bigg|_{-1}^2\\\\\\ =2\cdot\left[ \left(2-\frac{2^3}{3}\right)- \left((-1)-\frac{(-1)^3}{3}\right)\right]$

$=2\cdot\left[ 2-\dfrac{8}{3}-\left(-1+\dfrac{1}{3}\right)\right]\\\\\\ =2\cdot\left[ 2-\dfrac{8}{3}+1-\dfrac{1}{3}\right]\\\\\\ =2\cdot\left[ 3-\dfrac{9}{3}\right]\\\\\\ =2\cdot\left[3-3\right]\\\\\\ =0~~~~~~\checkmark$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)