Question

Calcule a integral de linha Sc xyz^2 ds onde C é o segmento de reta de (-1, 5, 0) a (1,6,3). OBS: se sua resposta for um número fracionário, escreva-o na forma decimal aproximando-o com duas casas decimais. Utilize raiz 14~ 3,74

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{33.11~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos a seguinte integral de linha, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral de linha:

$\displaystyle{\int_C xyz^2\,ds$, em que $C$ é o segmento de reta que une os pontos $(-1,~5,~0)$ e $(1,~6,~3)$.

Devemos parametrizar este segmento de reta. Para isso, utilizamos a fórmula: $r(t)=(1-t)\cdot r_0+t\cdot r_1$, $0\leq t\leq 1$.

Assim, teremos:

$r(t)=(1-t)\cdot (-1,~5,~0)+t\cdot (1,~6,~3)$

Calcule os produtos

$r(t)=(-1+t,~5-5t,~0)+(t,~6t,~3t)$

Some os valores

$r(t)=\left<-1+2t,~5+t,~3t\right>$

Podemos reescrever a equação parametrizada da reta como:

$r(t)=\begin{cases}x=-1+2t\\y=5+t\\z=3t\\\end{cases},~0\leq t\leq 1$.

Então, devemos calcular $|r'(t)|$.

Diferenciando a equação em relação a $t$, teremos:

$r'(t)=(2,~1,~3)$.

O módulo é calculado pela fórmula: $|r'(t)|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t)^2+(z'(t)^2)$, logo teremos:

$|r'(t)|=\sqrt{2^2+1^2+3^2}$

Calcule as potências e some os valores

$|r'(t)|=\sqrt{4+1+9}\\\\\\ |r'(t)|=\sqrt{14}$

Sabendo que $|r'(t)|=\dfrac{ds}{dt}$, temos

$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{14}\\\\\\\\ ds=\sqrt{14}\,dt$

Lembre-se que a integral de linha de um segmento de reta, nestas condições, é dada por: $\displaystyle{\int_0^1 f(x(t),~y(t),~z(t))\cdot |r'(t)|\,dt$.

Nossa integral de linha se torna:

$\displaystyle{\int_0^1 (-1+2t)\cdot (5+t)\cdot (3t)^2\cdot \sqrt{14}\,dt$

Calcule a potência e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^1 (-1+2t)\cdot (5+t)\cdot 9t^2\cdot \sqrt{14}\,dt}\\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 (18t^4+81t^3-45t^2)\cdot \sqrt{14}\,dt}$

Aplique a propriedade da potência: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$

$\displaystyle{\sqrt{14}\cdot\int_0^1 18t^4+81t^3-45t^2\,dt$

Lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq -1$.
• A integral definida de uma função contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Calcule a integral

$\displaystyle{\sqrt{14}\cdot\left[\dfrac{18t^5}{5}+\dfrac{81t^4}{4}-\dfrac{\\45t^3}{3}\right]~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\sqrt{14}\cdot\left[\dfrac{18\cdot1^5}{5}+\dfrac{81\cdot1^4}{4}-\dfrac{45\cdot1^3}{3}-\left(\dfrac{18\cdot0^5}{5}+\dfrac{81\cdot0^4}{4}-\dfrac{45\cdot0^3}{3}\right)\right]$

Calcule as potências e multiplique os valores

$\displaystyle{\sqrt{14}\cdot\left[\dfrac{18}{5}+\dfrac{81}{4}-\dfrac{45}{3}\right]$

Some as frações

$\sqrt{14}\cdot\dfrac{177}{20}$

Considerando a aproximação $\sqrt{14}\approx 3.74$, multiplicamos os valores

$3.74\cdot\dfrac{177}{20}\\\\\\ 33.11$

Este é o resultado aproximado desta integral de linha.