Question

Calcule a integral de linha ∫▒〖F ⃗dS〗 onde F=x^4 i+xyj e C é o triângulo ligando os pontos (0,0) , (1,0) e (0,1) orientado no sentido anti–horário.

Answer 1

Resposta:

$\frac 16$

Explicação passo-a-passo:

1) Usando o Teorema de Green:

O campo a ser integrado é $\vec F = (x^4, xy)$. Ou seja, $P = x^4$ e  $Q = xy$. Logo, pelo teorema de Green segue que

$\displaystyle \oint_C \vec F \cdot d\vec r= \iint_R \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dA = \iint_R y \, dA = \int_0^1\int_0^{1-y} y \,dxdy = \frac 16$

2) Calculando diretamente a integral de linha

Primeiramente parametrizamos cada um dos 3 lados do triângulo, tomando cuidado de usar a orientação correta. As três parametrizações a seguir tem t variando no intervalo [0,1]:

$\vec r_1(t) = (t,0) \Longrightarrow \dfrac{d\vec r_1}{dt} = (1,0)$

$\vec r_2(t) = (1-t, t) \Longrightarrow \dfrac{d\vec r_2}{dt} = (-1,1)$

$\vec r_3(t) = (0, 1-t), \Longrightarrow \dfrac{d\vec r_1}{dt} = (0,-1)$

Logo:

$\displaystyle \oint \vec R \cdot d \vec r = \int_0^1 t^4 \, dt + \int_0^1 -(1-t)^4 + t(1-t) \, dt + \int_0^1 0 \, dt = \dfrac 16$