Question

Calcule a integral de linha de f (x,y), onde f (x,y) = X³ + y e C é parametrizada por 
C: X = 3t e Y = t³ com t ∈ [0,1]

Resposta: 14(2√2 - 1)

Answer 1

$\boxed{\boxed{ \int\limits_c f(x,y)\, dx= \int\limits^b_a f(C)*|C(t)|\, dt}}$

seguindo isso 

o enunciado diz que
$C=\left \{ {{y=t^3} \atop {x=3t}} \right. \\\\\boxed{C(t)=(3t)\vec i + (t^3) \vec j}$


o módulo da derivada de C(t) 
$C'(t)=3+3t^2\\\\\\\\|C'(t)|= \sqrt{3^2+(3t^2)^2} = \sqrt{3+3t^4} =3 \sqrt{1+t^4}$

$\boxed{f(x,y)=x^3+y}\\\\f(C)=(3t)^3+t^3=27t^3+t^3=28t^3$

e tambem diz que  t esta no intervalo de 0 a 1 ( t ∈ [0,1])

substituindo os valores na integral

$\boxed { \int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt}$

agora é só resolver essa integral

reescrevendo 

$\int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt\\\\\\\\ 28*3 \int\limits^1_0 t^3* \sqrt{1+t^4} \, dt\\\\\\\boxed{\boxed{84\int\limits^1_0 t^3* \sqrt{1+t^4} \, dt}}$

integrando por substituição

$u=t^4+1\\\\du=4t^3.dx\\\\ \frac{du}{4t^3} =dx$

substituindo os valores de u e dx

$]84* \int\limits^1_0 {\not t^3} \sqrt{u}. \frac{du}{4\not t^3} \\\\ \frac{84}{4} \int\limits^1_0 { \sqrt{u} } \, du \\\\\\ \boxed{ \boxed{21 \int\limits^1_0 {u^{ \frac{1}{2} }} \, du }}$

integrando
$21 *[ \frac{u \frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} ] = \frac{21*2 \sqrt{u^3} }{3} =\boxed{14 \sqrt{u^3} }$

substituindo o valor de u por t^4 +1

$14 \sqrt{(t^4+1)^3}$

substituinto t =1 e subtraindo por t=0

$\boxed{t=1}\to14 \sqrt{(1^4+1)^3} =14 \sqrt{8} \\\\\boxed{t=0}\to 14 \sqrt{(0^4+1)^3}=14\\\\\\\\14 \sqrt{8} -14\\\\14( \sqrt{8}-1)$

sabendo que √8 = 2√2

temos 

$14(2 \sqrt{2} -1)$

resposta

$\boxed{\boxed { \int\limits^1_0 28t^3*3 \sqrt{1+t^4} \, dt=14(2 \sqrt{2} -1)}}$