Question

Calcule a integral de linha {c (1+xy)ds onde C é a metade superior da circunferência x2+y2=1.​

Answer 1

Resposta:   $\displaystyle\int_C (1+xy) d\mathbf{s}=\pi.$

Explicação passo a passo:

Calcular o valor da integral de linha da função real de duas variáveis

    $\begin{array}{ccll}f:&\mathbb{R}^2&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\& (x,\,y)&\!\!\mapsto\!\!&f(x,\,y)=1+xy \end{array}$

ao longo da curva $C,$ cuja imagem é a metade superior da circunferência unitária (raio 1) com centro na origem $(0,\,0):$

    $\mathrm{Im}(C)=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~y\ge 0~~\mathrm{e}~~x^2+y^2=1\}$

Podemos parametrizar a curva $C$ utilizando coordenadas polares:

    $C:~\begin{cases}~x(\theta)=\cos \theta\\ ~y(\theta)=\mathrm{sen\,}\theta \end{cases}\qquad\mathrm{com~}0 \le \theta\le \pi$

   

ou equivalentemente,

      $\begin{array}{ccll}C:&[0,\,\pi]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^2\\\\& \theta&\!\!\mapsto\!\!&C(\theta)=\big(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta\big) \end{array}$

• Encontrando o módulo (ou norma) do vetor tangente à curva $C:$

    $\|C'(\theta)\|=\left\|\frac{d}{d\theta}(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)\right\|\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\left\|(-\,\mathrm{sen\,} \theta,\,\cos\theta)\right\|\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\sqrt{(-\,\mathrm{sen\,}\theta)^2+(\cos\theta)^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|C'(\theta)\|=\sqrt{\,\mathrm{sen^2\,}\theta+\cos^2\theta}=1$

para todo $\theta \in[0,\,\pi].$

• Descrevendo a integral de linha em termos do parâmetro $\theta,$ temos

    $\displaystyle\int_C (1+xy) d\mathbf{s}\\\\\\ =\int_C f(x,\,y)\,d\mathbf{s}\\\\\\ =\int_0^\pi f(C(\theta))\cdot \|C'(\theta)\|\,d\theta\\\\\\ =\int_0^\pi f(\cos\,\theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)\cdot 1\,d\theta\qquad\mathrm{(i)}$

Substitua as coordendadas da curva $C$ na lei da função $f:$

    $f(x,\,y)=1+xy\quad\Longrightarrow\quad f(\cos \theta,\,\mathrm{sen\,}\theta)=1+(\cos\theta)(\mathrm{sen\,}\theta)$

e a integral (i) fica

    $=\displaystyle\int_0^\pi \big(1+(\cos \theta)(\mathrm{sen\,}\theta)\big)\cdot 1\,d\theta\\\\\\ =\int_0^\pi (1+\cos\theta\,\mathrm{sen\,\theta})\,d\theta\\\\\\ =\int_0^\pi 1\,d\theta+\int_0^\pi \mathrm{sen\,}\theta\cdot \cos\theta\,d\theta\\\\\\ =(\pi-0)+\int_0^\pi \mathrm{sen\,}\theta\cdot \cos\theta\,d\theta\qquad\mathrm{(ii)}$

Faça a seguinte mudança de variável:

    $\mathrm{sen\,}\theta=u\quad\Longrightarrow\quad \cos \theta\,d\theta=du$

Novos limites de integração:

    quando $u=0\quad\Longrightarrow\quad \theta=\mathrm{sen\,}0=0,$

    quando $\theta=\pi\quad\Longrightarrow\quad u=\mathrm{sen\,}\pi=0$

Substituindo em (ii), a integral fica

    $=\displaystyle(\pi-0)+\int_0^0 u\,du\\\\ =\pi+(0)\\\\ =\pi\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Bons estudos!

Answer 2

A reposta mais lógica é R