Question

Calcule a integral de laplace da função f(x)=6, para todo t≥0 £(6)= ∫∞ e^-st 6dt= 6(-1/s e -st)∞ 0 =6 lim b⇒∞(0 -1/s e -bs +1/s)= 6/s

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\mathcal{L}\{6\}(s)=\dfrac{6}{s}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos a transformada de Laplace da função $f(x)=6$, $\forall{t}\geq0$, lembremos que:

$\mathcal{L}\{f(t)\}(s)}=\displaystyle{\int_0^{\infty} f(t)\cdot e^{-st}\,dt$

Substituindo a função, teremos

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{\int_0^{\infty} 6\cdot e^{-st}\,dt}$

Para integramos esta função, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante e a integral da função, ou seja: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral da função exponencial é dada por: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^x}$.

Aplicando a primeira regra, teremos

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{6\cdot \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt}$

Agora, faremos uma substituição $u=st$. Derivamos ambos os lados para encontrarmos o diferencial $du$, em relação a $t$:

$\dfrac{du}{dt}=s$

Veja que neste caso, $-s$ se comporta como constante e aplicamos a derivada da potência $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Isolando $dt$, teremos

$\dfrac{du}{s}=dt$

Sabemos que neste caso, devemos substituir também os limites de integração. Visto que $u=st$, quando $t\rightarrow0,~u\rightarrow 0$ e da mesma forma, quando $t\rightarrow\infty,~u\rightarrow\infty$, logo substituindo as expressões na integral, teremos:

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{6\cdot \int_0^{\infty} e^{-u}\cdot\left(\dfrac{du}{s}\right)}$

Da mesma forma, $\dfrac{1}{s}$ se comporta como constante, logo

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{\dfrac{6}{s}\cdot \int_0^{\infty} e^{-u}\,du}$

Calculando a integral a partir da segunda regra discutida acima, temos

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{-\dfrac{6}{s}\cdot e^{-u}~\biggr|_0^{\infty}$

Lembre-se que, de acordo com o teorema fundamental do cálculo, $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é uma primitiva da função $f(x)$ e $\dfrac{d(F(x))}{dx}=f(x)$.

Porém, como um dos limites tende ao infinito, teremos:

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{-\dfrac{6}{s}\cdot \left(\underset{u\rightarrow\infty}{\lim}e^{-u}-e^{-0}\right)$

Sabendo que $\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~e^{-x}=0$, visto que a função exponencial decresce muito rápido quando $x$ tende a valores muito pequenos e $e^{-0}=e^0=1$, temos

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{-\dfrac{6}{s}\cdot (0-1)$

Some os valores

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\displaystyle{-\dfrac{6}{s}\cdot (-1)$

Multiplique os valores

$\mathcal{L}\{6\}(s)=\dfrac{6}{s}$

Esta é a transformada de Laplace desta função.