Question

Calcule a integral da função f(x,y)=x3 na região 0≤x≤2,x2≤y≤4 .
Quais os valores para x?
Esboce o gráfico da região.

Answer 1

Resposta:

s paramétricas

x=u, y=ucosv, z=usinv

representam o cone que resulta quando a reta y=x do plano xy é girada em torno do eixo x. Determine a área de superfície da parte do cone para a qual 0≤u≤2 e 0≤v≤2π.

ver solução

3103

Use uma integral dupla para calcular a área da região R entre a parábola y=

1

2

x2 e a reta y=2x.

ver solução

3113

A tendência de uma lâmina de resistir a uma mudança no seu movimento de rotação em torno de um eixo é medida pelo seu momento de inércia em torno daquele eixo. Se a lâmina ocupar uma região R do plano xy e se sua densidade δ(x,y) for uma função contínua em R, então os momentos de inércia em torno dos eixos x, y e z são denotados por Ix, Iy e Iz, respectivamente, e são definidos por

Ix = ∬R y2δ(x,y)dA, Iy = ∬R x2δ(x,y)dA, Iz = ∬R (x2+y2)δ(x,y)dA.

Considere a lâmina retangular que ocupa a região descrita pelas desigualdades 0≤x≤a e 0≤y≤b. Supondo que a lâmina tenha densidade δ constante, mostre que

Ix=

δab3

3

, Iy=

δa3b

3

, Iz=

δab(a2+b2)

3

.

2404

Considere a integral iterada dada por

∫

1

0

∫

√

x

x

ey

y

dydx.

Desenhe a região de integração no plano xy.

Calcule a integral acima.