Question

Calcule a integral da função f (x) igual 5x sobre x elevado a 2 mais 3, num intervalo (-1, 1).

Answer 1

Diga que (x^2 + 3) = u

Derive u em relação à variável x, isso é du/dx.

(du/dx) = 2x ; de onde segue que: (du/2) = (xdx)

A função a integrar se torna: (5/2)*(du/u)

Podemos retirar (5/2) da integral, por se tratar de uma constante.

(du/u) é uma integral tabelada e seu resultado é ln|u| + k

Podemos então calcular o novos intervalo de integração em termos de u ou retornar u para seu equivalente (x^2 + 3) e utilizar o intervalo de integração (-1,1).

Primeira forma:

Valor de u para x = -1 : u(-1) = (-1)^2 + 3 = 4

Valor de u para x = 1 : u(1) = (1)^2 + 3 = 4

Isso é, o valor da integral definida é dado por:

(5/2)*[(ln|4| + k) - (ln|4| + k)] = 0

Segunda forma:

u = (x^2 + 3) e o intervalo de integração é (-1,1)

O valor da integral definida é dado por:

(5/2)*[(ln|(1)^2+3| + k) - (ln|(-1)^2 + 3| + k)] = 0

Answer 2

Olá!

De acordo com as informações, creio que a integral é a seguinte:

$\displaystyle \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{5x}{x^2+3} \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{u=x^2+3} \\ \\ \mathsf{du=2x \, \, dx} \\ \\ \mathsf{dx = \frac{1}{2x} \, du} \\ \\ \\ \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{5x}{u} \cdot \frac{1}{2x} \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ \int_{-1}^{1} \frac{5}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du }$

Continuando em outra linha:

$\displaystyle \mathsf{ \frac{5}{2} \cdot \int_{-1}^{1} \frac{1}{u} \, \, du } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{5}{2} \ln u \, \, \bigg|_{-1}^{\, \, \, 1} } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{5}{2} \ln (x^2+3) \, \, \bigg|_{-1}^{\, \, \, 1} } \\ \\ \\ \mathsf{ \frac{5}{2} \ln (1^2+3) - \frac{5}{2} \ln ((-1)^2+3) = \boxed{ 0 \, u.a } }$