Question

Calcule a integraL curvinea abaixo, onde C é o arco da circunferencia x²+y²=4 de A= (2,0) a B=(1,√3).

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{6~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos calcular a seguinte integral de linha:

$\displaystyle{\int_C2xy\,ds}$, em que $C$ é o arco da circunferência $x^2+y^2=4$ de $A=(2,~0)$ a $B=(1,~\sqrt3)$.

A integral de linha de um campo $F(x,y)$ sobre uma curva $\mathcal{C}$ é dada por:

$\displaystyle{\int_{\mathcal{C}} F\,ds=\int_a^bF(\overrightarrow r(t))\cdot |\overrightarrow r'(t)|\,dt$

Primeiro, devemos parametrizar a curva.

Dada uma equação da circunferência da forma $x^2+y^2=R^2$, sua parametrização é:

$\overrightarrow r(t)=\begin{cases}x=R\cos(t)\\y=R\sin(t)\\\end{cases}$

Neste caso, temos $R^2=4\Rightarrow R=2$, logo

$\overrightarrow r(t)=\begin{cases}x=2\cos(t)\\y=2\sin(t)\\\end{cases}$

Podemos reescrevê-la na notação vetorial:

$\overrightarrow r(t)=\left<2\cos(t),~2\sin(t)\right>$

O comprimento de arco $ds$ é igual a $|\overrightarrow r'(t)|\,dt$.

Então, precisamos calcular a derivada de $\overrightarrow r(t)$.

$\overrightarrow r'(t)=\left<(2\cos(t))',~(2\sin(t))'\right>\\\\\\ \overrightarrow r'(t)=\left<-2\sin(t),~2\cos(t)\right>$

O módulo de um vetor $\overrightarrow v=\left<a,~b\right>$ é dado por: $|\overrightarrow v|=\sqrt{a^2+b^2}$, logo

$|\overrightarrow r'(t)|=\sqrt{(-2\sin(t))^2+(2\cos(t))^2}$

Calcule as potências

$|\overrightarrow r'(t)|=\sqrt{4\sin^2(t)+4\cos^2(t)}$

Lembrando que $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$, temos

$|\overrightarrow r'(t)|=\sqrt{4(\sin^2(t)+\cos^2(t))}\\\\\\ |\overrightarrow r'(t)|=\sqrt{4}$

Calcule o radical

$|\overrightarrow r'(t)|=2$

Os limites de integração serão dados em função de $t$. Veja que o arco é compreendido entre os pontos $A$ e $B$.

Em $A$, temos que:

$x=2\Rightarrow 2\cos(t)=2\\\\\\ y=0\Rightarrow 2\sin(t)=0$, logo $\cos(t)=1$ e $\sin(t)=0$.

Facilmente vemos que partimos de  $t=0$.

Em $B$, temos que:

$x=1\Rightarrow 2\cos(t)=1\\\\\\ y=\sqrt3\Rightarrow 2\sin(t)=\sqrt3$, logo $\cos(t)=\dfrac{1}{2}$ e $\sin(t)=\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Facilmente vemos que vamos até $t=\dfrac{\pi}{3}$.

Visto que o sentido em que percorremos o arco é anti-horário, dizemos que esta integral de linha tem orientação positiva.

Substituindo estes dados na integral, temos

$\displaystyle{\int_C2xy\,ds=\int_0^{\frac{\pi}{3}}2\cdot2\cos(t)\cdot2\sin(t)\cdot 2\,dt$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{3}}16\cos(t)\sin(t)\,dt$

Para calcular esta integral, faça uma substituição $u=\sin(t)$. Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $t$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(\sin(t))'\\\\\\ \dfrac{du}{dt}=\cos(t)$

Multiplique ambos os lados pelo diferencial $dt$

$du=\cos(t)\,dt$

Veja que este elemento já está presente na integral, porém, ainda devemos alterar os limites de integração: quando $t\rightarrow0,~u\rightarrow0$ e quando $t\rightarrow\dfrac{\pi}{3},~u\rightarrow\dfrac{\sqrt3}{2}$. Nossa integral se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}16u\,du$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

$16\cdot\dfrac{u^2}{2}~\biggr|_0^{\frac{\sqrt3}{2}}$

Multiplique os valores e aplique os limites de integração

$8\cdot\left[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-0^2}\right]$

Calcule as potências

$8\cdot\dfrac{3}{4}$

Multiplique os valores

$6$

Este é o resultado desta integral de linha.