Question

Calcule a integral curvilínea usando o Teorema de Green




∳ (−3x^2 ydx + 3xy^2 dy) e C é a circunferência x^2 + y^2 + 4y = 0, no sentido anti-horário

Answer 1

A integral de linha vale é

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\oint_{\partial D}\left( -3x^2y\,dx + 3xy^2\,dy\right) = 72\pi \end{gathered}$

O Teorema de Green nos permite calcular uma integral de linha fechada através de uma integral dupla, ou seja, relacionamos a integral sobre o bordo da região com a região em si, podemos escrever isso como

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\oint_{\partial D}\left( Pdx + Qdy\right) = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA\end{gathered}$

Lembrando que quando temos um campo vetorial bidimensional, vale que

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{\nabla}\times \vec{F}=\text{rot } \vec{F} =\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}\end{gathered}$

Ou seja, calculamos a integral dupla sobre o rotacional do campo vetorial.

Dito isso, sabemos pelo nosso enunciado que

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = -3x^2y \qquad Q = 3xy^2\end{gathered}$

Calculando suas derivadas parciais

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial x} = 3y^2 \\ \\\frac{\partial P}{\partial y} = -3x^2\end{cases} \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3\left(y^2+x^2\right)\end{gathered}$

Já temos qual é o rotacional do nosso campo vetorial, então podemos dizer que

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\oint_{\partial D}\left( -3x^2y\,dx + 3xy^2\,dy\right) = \iint_D 3\left(y^2+x^2\right) dA\end{gathered}$

Onde D é a circunferência.

Completando quadrados na circunferência vemos que

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^2 + y^2+4y=0\\ \\x^2 + y^2+4y + 4= 4\\ \\x^2 + \left(y+2\right)^2= 4\\ \\\end{gathered}$

Ou seja, é uma circunferência de raio 2 e centro em (0, -2).

Para calcular essa integral dupla sobre esse domínio vamos fazer uma mudança de variável para as coordenadas polares, parametrizando nossa circunferência temos

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}x = r\cos \theta & 0\leq r \leq 2\\ y = r\sin \theta - 2 & 0\leq \theta \leq 2\pi\end{cases}\end{gathered}$

Com o Jacobiano

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}|\text{Jac}\ \varphi | = \left|\begin{array}{c c}\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right|= r\end{gathered}$

Então nossa integral passa agora a ser escrita em função de outras variáveis

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}3\left(y^2+x^2\right)|\text{Jac }\varphi |\, drd\theta\end{gathered}$

Substituindo os dados que já temos      

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}3\left(r^2\cos^2\theta+\left(r\sin\theta -2\right)^2\right)r\, drd\theta\\ \\\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}3r\left(r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta - 4r\cos\theta +4\right)\, drd\theta\\ \\\end{gathered}$

Pela relação trigonométrica $\cos^2 \theta +\sin^2\theta = 1$, podemos substituir por

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}3r\left(r^2 -4r\cos\theta + 4\right)\, drd\theta\\ \\\end{gathered}$

Simplificando para

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\left(r^3- 4r^2\cos\theta +4r\right)\, drd\theta\\ \\\end{gathered}$

Integrando em relação a r primeiro obtemos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}3\int_{0}^{2\pi}\frac{r^4}{4}\bigg|_{0}^{2} - \frac{4r^3}{3}\bigg|_{0}^{2}\cos\theta + 2r^2\bigg|_{0}^{2}\,d\theta\\ \\3\int_{0}^{2\pi}4- \frac{32}{3}\cos\theta + 8\,d\theta\\ \\3\int_{0}^{2\pi} \frac{32}{3}\cos\theta + 12 \,d\theta\\ \\\end{gathered}$

Agora contamos com duas integrais simples e imediata

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}32\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\, d\theta + 36\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta\\ \\32\left(\sin 2\pi - \sin 0\right)+ 72\pi\\ \\72\pi\\ \\\end{gathered}$

                           

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                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\oint_{\partial D}\left( -3x^2y\,dx + 3xy^2\,dy\right) = 72\pi \end{gathered}$

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