Question

Calcule a integral curvilínea do campo vetorial →f, ao logo do caminho C dado, onde C é o segmento de reta que liga o ponto A = (2,1,0) ao ponto B = (0,2,2).

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{\ell n\,2-\dfrac{28}{3}}$

Explicação passo-a-passo:

Para melhor visualização da resposta utilize o navegador.

1. Faça a parametrização da curva:

$\mathsf{C:A\rightarrow B\qquad(2,1,0)\rightarrow(0,2,2)}$

$\mathsf{r(t)=(1-t)\,r_o+t\,r_1\qquad t \in[0,1]}$

$\mathsf{r(t)=(1-t)\,(2,1,0)+t\,(0,2,2)}\\\\\therefore \mathsf{r(t)=(2-2t,1+t,2t)}$

2. Calcule as derivadas:

$\mathsf{r'(t)=(-2,1,2)}$

3. Utilize a definição de integral de linha:

$\displaystyle \mathsf{\int_C} \vec{\mathsf{f}}\cdot\mathsf{d}\vec{\mathsf{r}}=\mathsf{\int_0^1\bigg[(2-2t)^2,\dfrac{1}{1+t},4t-4t^2\bigg]\cdot(-2,1,2)\,dt}}$

$\mathbb{I}=\mathsf{\displaystyle -2\int_0^1(2-2t)^2\,dt+\int_0^1\dfrac{1}{1+t}\,dt+8\int_0^1t-t^2\,dt}\\\\\mathbb{I}=\mathbb{I}_\mathsf{1}+\mathbb{I}_\mathsf{2}+\mathbb{I}_\mathsf{3}$

Agora vamos calcular cada integral separadamente:

• Cálculo de I₁ :

$\mathbb{I}_\mathsf{1}=\displaystyle \mathsf{-2\int_0^1(2-2t)^2\,dt=-2\int_0^14-8t+16t^2\,dt}\\\\=\mathsf{-8\cdot\bigg[t-t^2+\dfrac{4t^3}{3}\bigg]_0^1=-8\cdot\bigg(1-1+\dfrac{4}{3}-0\bigg)}}\\\\=-\mathsf{\dfrac{32}{3}}$

• Cálculo de I₂ :

$\mathbb{I}_\mathsf{2}=\displaystyle \mathsf{\int_0^1\dfrac{1}{1+t}\,dt=\ell n|1+t|\bigg|_0^1}\\\\=\mathsf{\ell n\,2-\ell n\, 1}\\\\=\mathsf{\ell n\,2}$

• Cálculo de I₃ :

$\mathbb{I}_\mathsf{3}=\displaystyle \mathsf{8\int_0^1t-t^2\,dt=8\cdot\bigg[\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{3}\bigg]_0^1}\\\\=\mathsf{8\cdot\bigg(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-0}\bigg)}\\\\=\mathsf{\dfrac{4}{3}}$

Agora, colete todos os resultados e determine I, temos:

$\mathbb{I}=\mathbb{I}_\mathsf{1}+\mathbb{I}_\mathsf{2}+\mathbb{I}_\mathsf{3}\\\\\mathbb{I}=\mathsf{-\dfrac{32}{3}+\ell n\,2+\dfrac{4}{3}}\\\\\therefore \boxed{\mathbb{I}=\mathsf{\ell n\,2-\dfrac{28}{3}}}$

Portanto, esse é o valor da integral solicitada.

Bons estudos!

Equipe Brainly