Question

Calcule a integral ∫c (2+x²y) ds, onde C é a parte da circunferência unitária x²+y² = 1 (x ≥ 0), percorrida no sentido anti- horário.

Veja anexo:

Answer 1

Temos a parametrização

x(t) = cost

y(t) = sent

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Achando as derivadas:

dx/dt = -sent

dy/dt = cost
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Temos que "ds" é a raiz quadrada das derivadas ao quadrado

ds = √ (-sent)²+(cost)² dt 

ds = √ (sen²t + cos²t) dt

Mas, sen²t + cos²t =  1

Dessa maneira,

ds = 1 dt

ds  = dt
-----------------------------

Substituindo o limite de integração em "t" e y e x da parametrização na integral , teremos:


$\\ \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {(2+cos^2t . sent).dt} \, \\ \\= \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {2.dt} \, + \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {(cos^2t . sent).dt} \,$

Resolvendo a 1 integral


$\int\limits^ \frac{ \pi } 2} _ \frac{ -\pi } {2} {2dt} \, = 2t |(- \frac{\pi }{2} , \frac{ \pi }{2} ) \\ \\ = \pi - ( -\pi ) \\ \\ = 2 \pi$

Resolvendo a 2 integral

$\\= \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {(cos^2t . sent).dt} \, \\ \\ Com, u = cost \\ \\ du = -sent.dt \\ \\ -du = sent.dt \\ \\ Entao: \\ \\ = \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {(u^2 .).(-du)} \, \\ \\ = - \int\limits^ \frac{ \pi } {2} _ \frac{- \pi }{2} {(u^2 .).(du)} \,$

Fazendo alteração no limite de integração para "u"

Tínhamos que:

u = cost

Para t = -π/2

u₁ = cos(-π/2) = 1

Pois, cos(-x) = cos(x)


Para t = π/2


u₂ = cos(π/2) = 1

Ora, temos que a integral não varia, portanto:

$- \int\limits^1 _ 1 {(u^2 .).(du)} \, = 0$

Lembrando que no teorema do cálculo, foi visto que:

$\int\limits^a_a {F(x)} \, dx = 0$

Logo, a nossa integral total será a soma da primeira pela segunda, que nos dará:

$\\ = 2 \pi + 0 \\ \\ = 2 \pi$