Question

Calcule a integral apresentada a seguir,
em que B é o paralepípedo dado por B = {(x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 1;-1 ≤ y ≤ 1; 0 ≤ z ≤ 2}, e assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1:
-2.

Alternativa 2:
-1.

Alternativa 3:
0.

Alternativa 4:
1.

Alternativa 5:
2.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 3:

0.

Explicação passo a passo:

Answer 2

O volume do sólido B é 0, o que torna correta a alternativa 3.

Para resolvermos essa questão, devemos aprender que uma integral tripla define o volume de um sólido delimitado pelos intervalos das variáveis que o formam.

Observando a integral tripla, notamos que a integral está sendo realizada sobre dV. Para realizarmos a integração, devemos converter dV para dxdydz, pois um volume é obtido ao encontrarmos o espaço que o sólido possui com relação a essas variáveis.

Com isso, alterando os limites de integração para 0 até 1 em x, -1 até 1 para y, e 0 até 2 para z, e utilizando a função xy, obtemos a seguinte integral tripla:

                                                $B = \int\limits^1_0 \int\limits^1_{-1}\int\limits^2_0 {xydxdydz}$

Realizando a integração de xy com relação a z, aplicando os limites superior e inferior, e encontrando a diferença entre os mesmos, obtemos:

                                             $B = \int\limits^1_0 \int\limits^1_{-1} {xydxdy}*(2 - 0)\\\\\\B = \int\limits^1_0 \int\limits^1_{-1} {2xydxdy}$

Realizando a integração de xy com relação a y, e aplicando os limites superior e inferior, obtemos:

                                                    $B = \int\limits^1_0 {xdx}y^2$

Aplicando os limites y = -1 e y = 1, e subtraindo o valor do primeiro do valor do segundo, temos:

                                                $B = \int\limits^1_0 {xdx}(1^2 - (-1)^2)\\\\\\B = \int\limits^1_0 {xdx}*0\\\\\\B = 0$

Com isso, concluímos que o volume do sólido B é 0, o que torna correta a alternativa 3.

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