Matemática, perguntado por leocc29, 4 meses atrás

Calcule a integral abaixo, utilize o método de 1/3 Simpson, considere n = 2 e quatro casas decimais. integral de 2 a 3 raiz cubica de x^3-5 dx

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor aproximado desta integral é $\sf\boxed{\boxed{\bf 2{,}164~u.a}}$ .

E para chegar a essa conclusão tivemos que usar a regra do 1/3 de Simpson.

Regra do 1/3 de Simpson

A regra 1/3 de Simpson nos permite calcular o valor aproximado de integrais definidas de uma função f(x) em um intervalo [a,b], onde o integrando da função f(x) será aproximado sobre um polinômio de segunda ordem, que será bem fácil de resolver. Se uma função é altamente oscilatória ou não possui derivadas em certos pontos, a regra acima pode não produzir resultados precisos.

A aproximação de uma integral pela regra 1/3 de Simpson tem a expressão:

$\displaystyle \bf \int^ b _ a f(x) dx \approx \dfrac{h}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}}f ( x _ 0) + 4 f( x _ 1) + 2 f(x _ 2) + ... + 4 f( x _{n - 1} )+f (x _ n)\right\}$

Onde o valor da variável h é calculado pela equação: $\bf h =\dfrac{b - a }{2}$

Observe que n é o número par de subdivisões em que a função é definida.

Assim, levando em consideração a regra de 1/3 de simpson e como ela será aplicada, podemos prosseguir para resolver nosso problema.

$\rule{12cm}{0.01mm}$

Resolução:

A integral que queremos resolver por este método é: $\displaystyle \bf \int ^3 _{2} \sqrt[3]{x ^3-5 } dx$

Vamos levar em conta que os intervalos onde nossa função se encontra é [3,2] e está definida em 2 subdivisões. Como o número de subdivisões é 2, o valor aproximado da integral será a operação:

$\displaystyle \int^ b _ a f(x) dx \approx \dfrac{h}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}} f ( x _ 0) + 4 f( x _ 1) +f (x _ 2)\right\}$

Para começar nossos cálculos podemos encontrar o valor da variável h, substituindo o valor de cada intervalo e o valor das subdivisões podemos dizer que h é igual a:

$h =\dfrac{3 - 2}{2} ~\Longrightarrow ~ h =\dfrac{1}{2} \\\\ \quad \quad h =0{,}5$

Como já encontramos o valor de "h" podemos encontrar os valores dos pontos dessa função, os pontos são definidos pela variável $x _ n$ . Principalmente o valor do ponto zero é o intervalo “a” da integral e o ponto 2 é igual ao valor de “a” mais a variável “h”, e o último ponto sempre será o intervalo “b”.

Vemos que o primeiro ponto é 2 e o último 3, vemos o que está faltando no antepenúltimo ponto, para isso vamos somar o valor de "h" que obtemos a 2.

$\begin{cases}x _ 0 = 2\\ x _ 1= 2+0{,}5 = 2{,}5\\ x _ 2= 3\end{cases}$

Agora vamos substituir o valor de cada ponto em nossa função que queremos integral.

$\begin{cases}I) f(x _ 0 )= \sqrt[3]{2^3 - 5}\\ \\ II) f(x _ 1) = \sqrt[3]{2{,}5^3-5} \\\\ III) f(x _ 2)= \sqrt[3]{3^3- 5}\end{cases}~ \begin{cases}IV) f(x _ 0 )\approx 1{,}442\\ \\ V) f(x _ 1) \approx 2{,}198 \\ \\ VI) f(x _ 2)\approx 2{,}802\end{cases}$

Como já encontramos todos os nossos dados, podemos substituir esses dados em nossa fórmula:

$I )~\approx~ \dfrac{0{,}5}{3} \left\{\vphantom{\dfrac{}{}}1{,}442 + 4 (2{,}198)+2{,}802\right\}~\Longrightarrow~ \\\\\\ II) ~\approx 0{,}166 \left\{\vphantom{\dfrac{}{}} 1{,}442+8{,}792+2{,}802\right\}\\\\\\ ~III)~ \approx~ 0{,}166 \cdot 13{,}036 \Longrightarrow \\\\\\ IV)~\approx~ 2{,}1639 \\\\\\ {\boxed{\bf~\int ^3 _{2} \sqrt[3]{x ^3-5 } dx \cong 2{,}164~ u.a}}$