Question

Calcule a integral abaixo usando o método por partes: imagem anexada abaixo Favor adicionar resolução completa A) -(x^2 + 2x + 2)e^-x + c B) -(x^2 - 2x - 2)e^-x + c C) (x^2 + 2x + 2)e^-x + c D) -(x^2 + 2x + 2)e^x + c Grato

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\boxed{\sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx}$

A questão nos pede para resolver essa tal integral através do método da integração por partes, esse tal método possui uma fórmula preestabelecida, dada por:

$\boxed{ \sf \int u.dv = u.v - \int v.du}$

Note pela fórmula, que teremos que encontrar alguns valores para alguns termos.

• Para o valor de "u" é interessante escolhermos um valor que seja fácil de derivar, ou seja, x², já para "dv" deve ser escolhido um valor fácil de integrar, ou seja, e^(-x), portanto:

$\boxed{ \sf u = x {}^{2} } \\ \sf \frac{du}{dx} = 2x \\ \boxed{\sf du = 2x.dx}$

Agora vamos integrar o dv, pois partindo dessa integração iremos encontrar o valor de "v", mas note que há uma exponencial dentro da integral e para resolvê-la teremos usar uma propriedade de integral exponencial dada por:

$\boxed{ \sf \int e {}^{ax} dx = \frac{e {}^{ax} }{a} + C }$

Aplicando:

$\sf \int dv = \int e {}^{ - x} .dx \\ \sf v = \frac{e {}^{ - 1x} }{ - 1} \\ \boxed{\sf v = - e {}^{ - x} }$

Substituindo os dados na fórmula:

$\sf \int u.dv = u.v - \int v.du \\ \sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = x {}^{2} .( - e {}^{ -x } )- \int ( - e {}^{ - x}) .2x.dx \\ \sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = - x {}^{2} . e {}^{ - x} + \int e {}^{ - x} .2x.dx$

Vamos mover o "2" que está dentro da integral após a igualdade, para fora da integral, já que valores constantes transitam livremente para dentro e fora da integrais.

$\sf \int x {}^{2} . e {}^{ - x} .dx = - x {}^{2} .e {}^{ - x} + 2\int x.{e}^{ - x}.dx$

Observe que ao mover o "2", surgiu uma nova integral que devemos resolver também pelo do método de integração por partes.

• Do mesmo jeito que fizemos no começo, teremos que fazer agora, ou seja, escolher valores para "u" e "v".

$\boxed{\sf \int x.e {}^{ - x} .dx }\\ \\ \boxed{ \sf u = x }\\ \sf \frac{du}{dx} = 1 \\ \boxed{\sf du = dx} \\ \\ \sf \int dv = \int e {}^{ -x} .dx \\ \boxed{\sf v = - e {}^{ - x} }$

Substituindo na fórmula:

$\sf \int u.dv = u.v - \int v.du \\ \sf \int x.e {}^{ - x} .dx = - x.e {}^{ - x} - \int - e {}^{ - x} .dx \\ \sf \int x.e {}^{ - x} .dx = - x.e {}^{ - x} + \int e {}^{ - x} dx \\ \sf\int x.e {}^{ - x} .dx = - x.e {}^{ - x} + ( - e {}^{ - x} ) \\ \boxed{ \sf \int x.e {}^{ - x} .dx = - x.e {}^{ - x} - e {}^{ - x} }$

Agora substitua esse valor, no local onde paramos:

$\sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = - x {}^{2} .e {}^{ - x} + 2\int x.{e}^{ - x}.dx \\ \sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = - x {}^{2} .e {}^{ - x} + 2.( - x.e {}^{ - x} - e {}^{ - x} ) \\ \sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = - x {}^{2} .e {}^{ - x} - 2xe {}^{ - x} - 2e {}^{ - x} \\ \boxed{\sf \int x {}^{2} .e {}^{ - x} .dx = - ( x {}^{2} + 2x + 2). e {}^{ - x} +C}$

Espero ter ajudado