Question

Calcule a integral abaixo, caso ela seja convergente. Caso contrário, justifique.

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Integrais Impróprias, concluímos que a integral é convergente e converge para 2

☞     Para calcular integrais impróprias (ou infinitas) do tipo   $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x)dx$  . Calculamos o limite   $\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\int _{a}^{x} f( x) dx$ . Dizemos que a Integral Imprópria converge se o limite existe. Caso contrário, a integral é dita divergente.

➜     Na sua questão, temos

$\displaystyle \int_{3}^{\infty} \dfrac{1}{(x-2)^{3/2}}dx=\lim _{x\rightarrow \infty }\int _{3}^{x}\dfrac{1}{( x-2)^{3/2}} dx$

Aqui, seja   $u=x-2 \Rightarrow du=dx$ . Quando   $x=3$ ,   $u=1$ . E quando   $x\rightarrow\infty$,   $u\rightarrow\infty$ . Portanto,

$\begin{array}{l} \displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\int _{3}^{x}\dfrac{1}{( x-2)^{3/2}} dx=\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{1}^{u}\dfrac{1}{u^{3/2}} du\\ \\ \displaystyle=\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{1}^{u} u^{-3/2} du\\ \\ \displaystyle=\lim _{u\rightarrow \infty }\left[\dfrac{u^{-1/2}}{-1/2}\right]_{1}^{u}\\ \\ \displaystyle=\lim _{u\rightarrow \infty }\left[ -\dfrac{2}{\sqrt{u}}\right]_{1}^{u} \end{array}$

$\begin{array}{l} \displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }\left[ -\dfrac{2}{\sqrt{u}} -\left( -\dfrac{2}{\sqrt{1}}\right)\right]\\ \\ =2 \end{array}$

∴     A integral é convergente e converge para 2   ✍️

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